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Über eine neue kombinatorische Invariante. (German) JFM 56.1134.01
Im Zusammenhang mit Fragen der Variationsrechnung im Großen haben Verf. und Lusternik (C. R. 188 (1929), 534-536; JFM 55.0316.*) eine topologische Invariante der abgeschlossenen Mengen einer Mannigfaltigkeit, die “Kategorie”, eingeführt durch die folgende Definition: Eine abgeschlossene Menge \(A\) in \(M\) hat die Kategorie 1, wenn sie in \(M\) stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden kann; \(A\) hat die Kategorie \(k\) (in Zeichen: \(\text{cat}_MA = k\)), wenn \(A\) in \(k\), aber nicht in weniger als \(k\) Teile von erster Kategorie zerspalten werden kann. Verf. führt die Kategorie hier axiomatisch ein durch das folgende Axiomensystem, in dem (a)-(f) bekannte Eigenschaften der Kategorie ausdrücken (vgl. das vorangehende Referat):
(a) \(\text{cat}_MA\) ist eine ganzzahlige Funktion der abgeschlossenen Teilmengen einer Mannigfaltigkeit \(M\).
(b) \(\text{cat}_Ma = 1\) für jeden Punkt \(a\).
(c) \(\text{cat}_MA\geqq \text{cat}_MB\), wenn \(A \supset B\).
(d) \(\text{cat}_M(A + B)\leqq \text{cat}_MA + \text{cat}_MB\).
(e) Wenn \(B\) aus \(A\) durch Deformation entsteht, gilt \(\text{cat}_MA\leqq \text{cat}_MB\).
(f) Für genügend kleines \(\varepsilon \) gilt \(\text{cat}_MS(A,\varepsilon )\leqq \text{cat}_MA\), wenn \(S (A, \varepsilon )\) die Menge der Punkte von \(M\) bezeichnet, deren Abstand von \(A\) höchstens gleich \(\varepsilon \) ist.
(g) Für jede ganzzahlige Funktion \(n (A)\) der abgeschlossenen Teilmengen von \(M\), die (a)-(e) erfüllt, gilt \(n (A)\leqq \text{cat}_MA\).
Auf Grund des Pflastersatzes der Dimensionstheorie wird gezeigt: Die Dimension einer abgeschlossenen Menge von der Kategorie \(k\) ist mindestens \(k-1\).
Verf. führt dann noch eine neue Invariante, die “kombinatorische Kategorie” \(\underline{\text{cat}}_ML\) ein, die für Teilkomplexe \(L\) von \(M\) definiert und daher leichter zu berechnen ist; sie führt, da sie stets höchstens gleich der Kategorie ist, in vielen Fällen zu Abschätzungen der Kategorie. Die Definition lautet: \(\underline{\text{cat}}_ML=1\), wenn jeder Zyklus von \(L\) in \(M\) homolog 0 ist; \(\underline{\text{cat}}_ML=k\), wenn \(L\) in \(k\), aber nicht weniger als \(k\) Teilkomplexe von erster kombinatorischer Kategorie zerspalten werden kann. Zur Berechnung der kombinatorischen Kategorie dienen die folgenden Sätze: \(M=M_0\), \(M_1\),\(\ldots \), \(M_r\) sei eine Folge von Teilmannigfaltigkeiten von \(M\) von der Eigenschaft, daß jeder Zyklus von \(M_\varrho \) (\(\varrho = 1, 2,\ldots, r\)), der in \(M_{\varrho-1}\) homolog 0 ist, auch in \(M_\varrho \) homolog 0 ist (\(M_{\varrho-1}\supset M_\varrho \); Mannigfaltigkeiten, Zyklen, Homologien mod 2); dann gilt \(\underline{\text{cat}}_MM\geqq r+1\) und \(\underline{\text{cat}}_MM_1\geqq r\). Insbesondere ergeben sich hieraus Aussagen über die Kategorie der projektiven Räume und gewisser Produktmannigfaltigkeiten, so z. B. des Produktes von \(n\) Kreisen.

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References:
[1] L. Lusternik u. L. Schnirelmann, Existence de trois lignés géodésiques fermées sur toute surface de genre O, Comptes rendus, 18 février 1929. · JFM 55.0316.01
[2] L. Lusternik, Topologische Grundlagen der allgemeinen eigenwerttheorie. · JFM 56.1133.04
[3] Dieser Satz ist bisher nur für Riemannsche Mannigfaltigkeiten bewiesen.
[4] S. Lefschetz, Trans. Am. Math. Soc., Bd. 26, S. 3.
[5] O. Veblen, Trans. Am. Math. Soc., Bd. 25, S. 540.
[6] In diese, gegenüber meiner ursprünglichen Darstellung vereinfachte Form wurde der Beweis von Herrn Frankl gebracht.
[7] L. Pontrjagin, Göttinger Nachrichten. Sitzung 9. III. 1928; der Satz ergibt sich im Verlaufe des Beweises des Satzes II dieser Arbeit, ist aber nicht explizit formuliert.
[8] Siehe z. B. S. Lefschetz, l. c. Trans. Am. Math. Soc., Bd. 26, S. 29.
[9] Dieser Satz folgt, wie mir Herr Pontrjagin mitgeteilt hat, aus einem Satz von Lefschetz, l. c. Trans. Am. Math. Soc., Bd. 26, S. 32.
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