Problèmes d’extrémums relatifs aux courbes convexes. II: Les couvercles. (French) JFM 56.1203.05

Favard, J.

Annales Ecole norm. (3) 47, 311-324 (1930).

\(\varGamma\) und \(c\) seien (beschränkte, geschlossene) konvexe Kurven in der Ebene. Unter allen \(c\) enthaltenden, zu \(\varGamma\) homothetischen Kurven heißen diejenigen, deren Ähnlichkeitsverhältnis zu \(\varGamma\) minimal ist, der Kurve \(c\) umbeschrieben; entsprechend werden die in \(c\) enthaltenen Kurven maximalen Ähnlichkeitsverhältnisse zu \(\varGamma\) als der Kurve \(c\) eingeschrieben bezeichnet. Kennzeichnend für beide Fälle ist, daß die gemeinsamen orientierten Stützgeraden von \(c\) und einer \(c\) um- bzw. einbeschriebenen Kurve niemals einer offenen Halbebene angehören können; bei gegebenem \(c\) und \(\varGamma\) ist daher die um- bzw. einbeschriebene Kurve eindeutig bestimmt, falls nicht \(\varGamma\) bzw. \(c\) zwei parallele Geradenstücke enthält.
Verf. behandelt nun mit den Methoden seiner vorangehenden Abhandlung (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 1071) einige Deckelprobleme der folgenden Art: \(E\) sei die Menge von konvexen Kurven \((c)\), die durch Angabe des Flächeninhalts von \(c\) und des gemischten Inhalts von \(c\) mit einer gegebenen Kurve \(C\) bestimmt ist; ferner sei \(\varGamma\) gegeben. Gesucht ist unter den zu \(\varGamma\) homothetischen Kurven (I) die größte oder \((\text{I}')\) die kleinste den Kurven von \(E\) umbeschriebene und (II) die kleinste oder \((\text{II}')\) die größte den Kurven von \(E\) einbeschriebene Kurve. Zunächst wird für \(C\) ein Kreis genommen, d. h. \(E\) besteht aus den konvexen Kurven von gegebener Länge \(L\) und gegebenem Flächeninhalt \(S\). Neben dem bekannten Fall, wo auch \(\varGamma\) ein Kreis ist, und einigen daran anschließenden Fragen wird hier auch die Aufgabe behandelt, das größte den konvexen Bereichen mit gegebenem \(L\) und \(S\) umbeschriebene gleichseitige Dreieck zu finden; die Lösung fällt verschieden aus, je nachdem das gegebene \(\dfrac{S}{L^2}\) größer oder kleiner ist als das entsprechende Verhältnis beim gleichseitigen Dreieck. – Zum Schluß deutet Verf. kurz die Lösungen einiger Probleme bei anderer Wahl von \(C\) an: \(C\) eine Ellipse, \(\varGamma\) homothetisch zu \(C\); oder \(C\) ein Quadrat, \(\varGamma\) ein dazu homothetisches Quadrat oder ein Kreis.

Reviewer: Pannwitz, Erika, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. D. Konvexe Punktmengen.