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Sur la détermination des vitesses en fonction des tourbillons dans le cas d’un fluide incompressible. (French) JFM 56.1249.02

Verf. teilt eine Methode zur Bestimmung der Geschwindigkeiten einer inkompressiblen Flüssigkeit durch die Wirbel mit, die zwar weniger einfach ist als die üblichen Methoden, aber dafür die funktionale Abhängigkeit der Geschwindigkeiten von den Wirbeln besser erkennen lassen.
Der Geschwindigkeitsvektor \((u, v, w)\) läßt sich bekanntlich darstellen als Rotation eines Vektors \((P, Q, R)\). Für diesen Vektor macht Verf. den folgenden Ansatz: \[ P = \frac{1}{2\pi}\iiint \frac{\xi^\prime}{r} \, d\tau^\prime + \frac{1}{2\pi} \iiint (a\xi^\prime + b\eta^\prime + c\zeta^\prime) \, d\tau^\prime, \dots, \] wobei \((\xi, \eta, \zeta)\) den Wirbelvektor bedeutet und die unter dem zweiten Integral auftretenden Koeffizienten \(a, b, c, a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) die Komponenten eines Tensors sind, der von \(x, y, z, x^\prime, y^\prime, z^\prime\) abhängt und aus den Gleichungen \[ 2 \iiint (a\xi^\prime + b\eta^\prime + c\zeta^\prime) \, d\tau^\prime = \iint \frac{\gamma^\prime v^\prime - \beta^\prime w^\prime}{r} \, d\sigma^\prime, \dots \] (\(\alpha, \beta, \gamma\) die Richtungskosinus der Flächennormale \(n\)) zu bestimmen ist. Man wird z. B. für \(a, b, c\) auf die Lösung der zweiten Randwertaufgabe der Potentialtheorie \[ \varDelta h = 0, \quad \frac{dh}{dn^\prime} = \gamma^\prime \frac{\partial \dfrac 1r}{\partial y^\prime} - \beta^\prime \frac{\partial \dfrac 1r}{\partial z^\prime} \] geführt und erhält \(a, b, c\) durch bloße Quadraturen aus \[ \text{rot}^\prime (a, b, c) = \text{ grad}^\prime h \] unter Berücksichtigung gewisser Randbedingungen für die \(a, b, c\). Es ergibt sich, daß \(a, b, c\) bis auf den Gradienten einer auf der Randfläche konstanten, aber sonst willkürlichen Funktion bestimmt sind und nicht von den Wirbeln abhängen. Das Entsprechende gilt für alt \(a_1, b_1, c_1\) und \(a_2, b_2, c_2\).
Als Anwendungen behandelt Verf. die Fälle der ebenen Strömung, der ebenen und der sphärischen Wand.
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Full Text: EuDML