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Sur les ensembles définissables de nombres réels. I. (French) JFM 57.0060.02
Das Ziel der Arbeit ist, den Begriff “Definierbarkeit” aus der Sphäre der Intuition oder der philosophischen Diskussion herauszuheben und streng mathematisch zu fassen – vorläufig unter Beschränkung auf Mengen reeller Zahlen, einer Beschränkung, die viel mehr technische als wesentliche Gründe hat. Der erste Schritt besteht in der Analyse des Begriffs “definierbar” auf dem Boden der Metamathematik. Zu diesem Zweck wird ein (im übrigen weitgehend noch freigelassenes) logisches System zugrunde gelegt, das etwa auf eine Vereinfachung des Systems der “Principia Mathematica”, speziell unter Eintausch der “Extensionalitätsthese” anstelle der verfeinerten Typentheorie, hinausläuft. Auf Grund einer Klassifikation der Aussagefunktionen nach der Ordnung der zugehörigen Variablen (Individuenvariablen, Mengen von Individuen usw.) läßt sich der Begriff der “Aussagefunktion von der Ordnung \(n\)” einführen und – nach einigen tieferliegenden Vorbereitungen eine Menge “definierbar von der Ordnung \(n\)” nennen, wenn genau ihre Elemente einer Aussagefunktion der Ordnung n mit einer einzigen freien Variablen genügen.
Eine glatte Überführung dieser metamathematischen Überlegungen aufs Gebiet der Mathematik kann nicht möglich sein, wie schon die Tatsache der Richardschen Antinomie zeigt. Aber eine in mehrfacher Hinsicht verengende Überführung gelingt. Dabei wird der Begriff der Aussagefunktion durch den korrespondierenden einer Menge von Folgen ersetzt, zu deren Konstruktion von einem gewissen Ausgangspunkt her fünf Grundoperationen eingeführt werden. Anstelle des allgemeinen Symbols \(n\) (für die Ordnung) tritt eine jeweils konkret zu fixierende natürliche Zahl. Die Betrachtung wird für die Ordnung l vollständig durchgeführt und soll für die Ordnung 2 wenigstens so weit fortgesetzt werden, daß die weitere Gestaltung für höhere Ordnungen sich zweifelsfrei ergibt. (II.)

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