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On direct products. (English) JFM 57.0159.01

Es sei \(A\) eine normale Divisionsalgebra der Ordnung \(n^2\) über dem Körper \(F\) und \(F(\eta)\) ein algebraischer Körper vom Grade \(r\) bezüglich \(F\). Untersucht wird die Struktur des direkten Produkts \(A^\prime = A \times F(\eta)\). Es seien hier nur die wichtigsten Resultate genannt: (1) Als Algebra über \(F(\eta)\) betrachtet, ist \(A^\prime = A \times F(\eta)\) normal und einfach. (2) Es ist \[ A^\prime = A \times F(\eta) = H \times B, \tag{1} \] wobei \(H\) eine vollständige Matrixalgebra der Ordnung \(s^2\) über \(F\), \(B\) eine normale Divisionsalgebra der Ordnung \(t^2 r\) über \(F\) bedeutet. Dabei bestehen die Relationen \(n = st\) und \(r = se\). Mit Hilfe einiger Ergebnisse der galoisschen Theorie wird ferner gezeigt: (4) Ist \(n = p\), (\(p =\) Primzahl), so läßt sich \(\eta\) so angeben, daß \(r|(p - 1)!\), daß \((r, p) = 1\) und ferner \(A^\prime\) eine zyklische normale Divisionsalgebra (vgl. die Arbeit des Verf. “On direct products, cyclic division algebras and pure Riemann matrices”, Transactions A. M. S. 33 (1931), 219-234; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 158) der Ordnung \(p^2\) über \(F(\eta)\) ist. (5) Ist \(n = pq\), \(e > 0\), \(q > 1\), \((p, q) = 1\), so läßt sich \(\eta\) so angeben, daß \((r, p) = 1\) ist und (1) gilt, wobei \(H\) eine vollständige Matrixalgebra der Ordnung \(q^2\) über \(F\), \(B\) eine normale Divisionsalgebra der Ordnung \(p^2\) über \(F(\eta)\) bedeutet. (6) \(n\) sei von der Form \(p^e\); \(\alpha\) sei eine algebraische Größe vom Grade \(p\) bezüglich \(F\). Dann läßt sich \(\eta\) stets so angeben, daß (a) \((r, p)=1\), (b) \(A^\prime\) normale Divisionsalgebra über \(K = F(\eta)\) ist, (c) \(K(\alpha)\) bezüglich \(K\) vom Grade \(p\) ist, (d) in \(K(\alpha)\) \(e\) Größen \(\alpha = \alpha_e, \alpha_{e-1}, \dots, \alpha_1\) existieren, so daß, wenn \(K = K_0\) und \(K_i = K(\alpha_i)\) \((i = 1, 2, \dots, e)\) ist, \(K_i\) vom Grade \(p^i\) in bezug auf \(K\) und in bezug auf \(K_{i-1}\) zyklisch von der Ordnung \(p\) ist.
Der im folgenden eingeführte Begriff der “allgemeinen Dicksonschen Algebra” ist eine Erweiterung des Begriffs der “zyklischen Algebra”: Es sei \(\varPhi (x) = 0\) eine zyklische Gleichung vom Grade \(n\) mit Koeffizienten aus \(F\). \(\alpha\) sei Wurzel dieser Gleichung, und \(\varTheta(\alpha)\) sei die erzeugende Substitution der zugehörigen galoisschen Gruppe. \(\beta\) sei eine Größe, deren \(n\)-te Potenz in \(F\) liegt. Die Algebra \(A\) über \(F\) mit den \(n\) Basiselementen \(\alpha^a \beta^b\) \((a, b = 0, 1, \dots, n - 1)\) und der zugehörigen Multiplikationstabelle \[ \varPhi(\alpha) = 0, \;\beta^n = \gamma \;\text{ in } \;F, \quad \beta^b \cdot f(\alpha) = f[\varTheta^b(\alpha)] \cdot \beta^b \] für jede Größe \(f(\alpha)\) und \(F(\alpha)\) ist dann eine “allgemeine Dicksonsche Algebra”. Eine solche heißt zyklisch, wenn sie darüber hinaus normal und einfach ist. \(A\) ist eindeutig charakterisiert durch \(F\), \(\varPhi(x)\), \(\varTheta(x)\) und \(\gamma\), \(A = F(\varPhi, \varTheta, \gamma)\). Es gilt (7): Notwendig und hinreichend dafür, daß eine allgemeine Dicksonsche Algebra zyklisch ist, ist \(\gamma \neq 0\). (8) Gegeben seien zwei zyklische Algebren über \(F\): \[ A = F(\varPhi, \varTheta, \gamma_1), \quad B = F(\varPhi, \varTheta, \gamma_2), \quad \gamma_1 \neq \gamma_2; \] dann ist das direkte Produkt \(A \times B = M \times C\), wobei \(M\) eine vollständige Matrixalgebra der Ordnung \(\eta^2\) über \(F\) und \(C\) die zyklische Algebra \(F(\varPhi, \varTheta, \gamma_1\cdot \gamma_2)\) bedeutet.
\(A\) sei eine normale einfache Algebra über \(F, B\) sei eine zu \(A\) äquivalente Algebra. Statt des direkten Produkts \(A \times B\) schreibe man symbolisch \(A \times A\); allgemein wird jetzt entsprechend die “direkte Potenz” definiert durch die Beziehung \[ A^{\alpha+1} = A \times A^\alpha = A^\alpha \times A. \] (9) Ist \(A\) normale Divisionsalgebra der Ordnung \(n^2\) über \(F\), so gilt \[ A^\alpha = (M^{\alpha-1} \times H_\alpha) \times A_\alpha, \] wobei \(M\) vollständige Matrixalgebra der Ordnung \(n^2\) über \(F\), \(H_\alpha\) vollständige Matrixalgebra der Ordnung \(s_\alpha^2\) und \(A_\alpha\) normale Divisionsalgebra der Ordnung \(t_\alpha^2\) über \(F\) ist, wobei \(s_\alpha t_\alpha = n\). Falls \(t_\alpha = 1\), ist \(A^\alpha = M^\alpha\) eine vollständige Matrixalgebra. Die kleinste Zahl \(\varrho\), für welche \(A^\varrho\) vollständige Matrixalgebra wird, heißt der “Exponent” von \(A\); daß ein solcher “Exponent” immer existiert, wird im folgenden bewiesen, und zwar ist (10) \(\varrho|n\) und \(p_i|\varrho\) für alle Primzahlen \(p_i\), die in \(n\) aufgehen.
Unter Benutzung einiger der genannten Resultate beweist Verf. im letzten Teil einen Satz, der sich auch in einer Arbeit von R. Brauer (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 88) findet, der dort mit Hilfe von Sätzen aus der Darstellungstheorie bewiesen wird: (11) \(A\) sei normale Divisionsalgebra der Ordnung \(n^2\) über \(F\), wobei \[ n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_m^{e_m} \] ist; dann läßt sich \(A\) darstellen als direktes Produkt \(A = B_1 \times B_2 \times \cdots \times B_m\), wobei \(B_i\) normale Divisionsalgebra der Ordnung \(p_i^{2e_i}\) über \(F\) ist. Diese Darstellung ist eindeutig, wenn man äquivalente Algebren als nicht verschieden ansieht. Umgekehrt ist das direkte Produkt von \(m\) solchen normalen Divisionsalgebren der Ordnungen \(p_i^{2e_i}\) \((p_i \neq p_k, i \neq k)\) eine normale Divisionsalgebra der Ordnung \(n^2\) über \(F\).
Reviewer: Held.
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