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Umkehrbare Ideale. (German) JFM 57.0201.04
Umkehrbar heißt ein Ideal \(\mathfrak m\) einer Dedekindschen Ordnung \(\mathfrak n\), wenn \[ \mathfrak m^{-1}\mathfrak m=\mathfrak m^0 \] gilt, wobei \(\mathfrak m^{-1}=\dfrac{\mathfrak m^0}{\mathfrak m}\), \(\mathfrak m^{0}=\dfrac{\mathfrak m}{\mathfrak m}\) ist und allgemein \(\dfrac{\mathfrak a}{\mathfrak c}\) die Menge aller Elemente des Quotientenkörpers von \(\mathfrak n\) bedeutet, die mit \(\mathfrak c\) multipliziert in \(\mathfrak a\) liegen. \(\mathfrak m^0\) ist “die Ordnung von \(\mathfrak m\)”: die umfangreichste, in der \(\mathfrak m\) Ideal ist. Die umkehrbaren Ideale mit der Ordnung \(\mathfrak n\) bilden nach Dedekind eine Gruppe \(\mathfrak B_{\mathfrak n}\), die hier näher untersucht wird. Die in \(\mathfrak B_{\mathfrak n}\) auftretenden Primideale sind zwar zum Führer von \(\mathfrak n\) teilerfremd; überhaupt lassen aber die Ideale aus \(\mathfrak B_{\mathfrak n}\) keine eindeutige Zerlegung in Ideale eines bestimmten \(\mathfrak B_{\mathfrak n}\) umfassenden Bereiches zu, wenn nicht \(\mathfrak n\) Hauptordnung. Weiter wird die Aufspaltung der Idealklassen beim Übergang zu engeren Ordnungen angegeben und beim Übergang zum Normalkörper die Norm als Produkt der konjugierten Ideale bestätigt. \[ N (\mathfrak a\mathfrak b) = N (\mathfrak a) N (\mathfrak b) \] gilt auch schon, wenn von den beiden Idealen mit der Ordnung \(\mathfrak n\) wenigstens eins umkehrbar ist.
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