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Elementare Abschätzungen von Fundamentaleinheiten und des Regulators eines algebraischen Zahlkörpers. (German) JFM 57.0202.01
Verf. gelangt, teilweise unter Benutzung Landauscher Sätze, auf elementarem Wege zu Abschätzungen für die Logarithmen der Beträge gewisser Grundeinheiten und für den Regulator eines algebraischen Zahlkörpers \(k\). Es bezeichne \(n\) den Körpergrad, \(r_1\) die Anzahl der reellen Konjugierten von \(k\), \(r_2\) die Anzahl der Paare konjugiert imaginärer Konjugierter von \(k\), D die Diskriminante, \(R\) den Regulator, \(b\) eine gewisse nur von \(n\) abhängige Konstante und \(\varDelta\) die Zahl \[ \varDelta=\left(\frac2\pi)\right)^{r_2}\sqrt{|D|}. \] Setzt man ferner \[ Q=\frac1{(n-1)!}\varDelta\log^{n-1}\varDelta+b\varDelta\log^{n-2}\varDelta, \] so gilt für die Konjugierten \(\eta_\nu^{(i)}\), \(1\leqq i\leqq n\) der \(\nu\)-ten Einheit \(\eta_\nu\) eines gewissen Systems von Grundeinheiten die Abschätzung \[ \left|\log\big|\eta_1^{(i)}\big|^{e_i}\right|\leqq Q,\quad \left|\log\big|\eta_\nu^{(i)}\big|^{e_i}\right|\leqq\frac\nu2 Q \] für \(2\leqq\nu\leqq r_1+r_2-1\). Dabei ist \(e_i=1\) für reelle Konjugierte und \(e_i=2\) für imaginäre Konjugierte. Hiernach ergibt sich insbesondere für den Regulator \(R\): \[ |R|\leqq Q^{r_1+r_2-1}. \] (III 8.)
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Full Text: DOI Crelle EuDML