×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the representations of a number as the sum of two numbers not divisible by \(k\)-th powers. (English) JFM 57.0222.03
Eine positive ganze Zahl heißt \(k\)-Zahl, wenn sie nicht durch die \(k\)-te Potenz einer ganzen Zahl \(> 1\) teilbar ist (eine 2-Zahl ist also eine quadratfreie Zahl). \(Q_k(n)\) bedeute die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe zweier \(k\)-Zahlen. Offenbar ist \[ \sum_{\substack{ x,y\\x^ky=m}}\mu(x)=1\quad\text{oder}\quad0, \] je nachdem ob \(m\) eine \(k\)-Zahl ist oder nicht. Also ist \[ Q_k(x)=\sum_{\substack{ m,r\\ \phantom{x^k}m+r=n}}\sum_{\substack{ x,y\\x^ky=m}}\mu(x) \sum_{\substack{ z,u\\z^ku=r}}\mu(z). \] Durch elementare Umformungen dieses Ausdrucks erhält Verf. einen einfachen und kurzen Beweis für den folgenden von Linfoot und Evelyn herrührenden Satz (J. f. M. 164 (1931), 131-140; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 220):
Für \(k \geqq 2\) ist \[ Q_k(n)=c_kn\prod_{p^k|n}\frac{p^k-1}{p^k-2}+O\Big(n^{\tfrac2{k+1}+\varepsilon}\Big) \] für jedes positive \(\varepsilon\). Dabei ist \[ c_k=\prod_p(1-2p^{-k}). \]
Reviewer: Behrend.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI