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Diophantische Ungleichungen. I: Zur Gleichverteilung Modulo Eins. (German) JFM 57.0230.05

Verf. beabsichtigt, in mehreren zusammenhängenden Arbeiten allgemeine Ungleichungssysteme in bezug auf ihre Lösbarkeit in ganzen Zahlen zu untersuchen. Der vorliegende erste Teil behandelt die von H. Weyl stammende Methode der Gleichverteilung mod 1. Zur Abkürzung wird hier und in den späteren Teilen folgende Bezeichnung benutzt: Sind \(\alpha\) und \(\beta\) zwei reelle Zahlen mit \(\alpha<\beta\), so bedeuten die Ungleichungen \[ \alpha {\botsmash{{}_{{<}}}\atop\topsmash{{}^{\leqq}}} x {\botsmash{{}_{{<}}}\atop\topsmash{{}^{\leqq}}} \beta\pmod1, \] daß es eine ganze rationale Zahl \(u\) gibt, so daß beziehungsweise \(\alpha{{{}_{{<}}}\atop{{{}^{\leqq}}}} x-u{{{}_{{<}}}\atop{{{}^{\leqq}}}}\beta\) ist.
Sei F \(eine\) unendliche Folge \(m\)-dimensionaler Quader \[ Q:\qquad\qquad a_\mu\leqq x_\mu<b_\mu\quad\qquad(\mu=1,2,\dots,m) \] mit ganzen rationalen \(a_\mu\), \(b_{\mu}\) mit \(a_\mu<b_\mu\) deren Inhalte \[ A(Q)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots(b_m-a_m) \] gegen \(\infty\) streben. Jedem \(Q\) seien \(n\) reelle Funktionen \(f_\nu(x)=f_\nu(x_1,\dots,x_m)\) (\(\nu=1\), 2,…, \(n\)) zugeordnet, die in allen Gitterpunkten \(x=(x_1,\dots, x_m)\) von \(Q\) definiert sind. Das System der Funktionen \(f_\nu(x)\) heißt gleichverteilt in den \(Q\), wenn die Anzahl \(A_1(Q)\) der Gitterpunkte \(x\) in \(Q\) mit \[ 0\leqq f_\nu(x)<\gamma_\nu\pmod1\qquad(\nu=1,2,\dots,n), \tag{1} \] wo \(\gamma_1\),…, \(\gamma_n\) irgend \(n\) reelle positive Zahlen \(< 1\) sind, der Limesgleichung \[ \frac{A_1(Q)}{A(Q)}\to\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n \] genügt, falls \(Q\) durch \(F\) läuft. Die Anzahl \(A_2(Q)\) der Gitterpunkte \(x\) in \(Q\) mit \[ \alpha_\nu {\botsmash{{}_{{<}}}\atop\topsmash{{}^{\leqq}}} f_\nu(x) {\botsmash{{}_{{<}}}\atop\topsmash{{}^{\leqq}}} \beta_\nu\pmod1\qquad(\nu=1,2,\dots,n), \tag{2} \] wo \(\alpha_\nu\) und \(\beta_\nu\) (\(\nu=1\), 2,…, \(n\)) reelle Zahlen mit \(\alpha_\nu\leqq\beta_\nu\leqq\alpha_\nu+1\) sind, genügt alsdann der analogen Limesgleichung \[ \frac{A_2(Q)}{A(Q)}\to(\beta_1-\alpha_1)(\beta_2-\alpha_2)\cdots(\beta_n-\alpha_n). \]
Sei das Funktionssystem \(f_\nu(x)\) gleichverteilt in den \(Q\) und \(\psi(v_1, v_2,\dots, v_n)\) eine in jedem Punkt \((v_1, v_2,\dots, v_n)\) definierte, von \(Q\) unabhängige Funktion mit \[ \psi(v_1, v_2,\dots, v_n)=\psi(w_1, w_2,\dots, w_n) \text{ für }v_\nu\equiv w_\nu\pmod1\qquad(\nu=1,2,\dots,n). \] Das eigentliche Riemannsche Integral \[ \int\limits_0^1\int\limits_0^1\cdots\int\limits_0^1\psi(v_1, v_2,\dots, v_n)\,dv_1\,dv_2\dots dv_n=J \] existiere. Dann gilt für die über alle Gitterpunkte \(x\) von \(Q\) erstreckte Summe \[ \frac1{A(Q)}\sum_{x\text{\,in\,}Q}\psi(f_1(x),\dots,f_n(x))\to J, \] wenn \(Q\) durch \(F\) läuft. Speziell: Es ist dann und nur dann \[ \frac1{A(Q)}\sum_{x\text{\,in\,}Q}\exp2\pi i\{h_1f_1(x)+\cdots+h_nf_n(x)\}\to 0 \] für jeden Gitterpunkt \((h_1, h_2,\dots,h_n)\neq(0,0,\dots,0)\), wenn die \(f_\nu(x)\) in den \(Q\) gleichverteilt sind. Also ist das System der \(n\) Funktionen \(f_\nu(x)\) (\(\nu=1\), 2,…, \(n\)) dann und nur dann in den \(Q\) gleichverteilt, wenn für jeden Gitterpunkt \((h_1,h_2,\dots,h_n)\neq(0,0,\dots,0)\) die Funktion \(h_1f_1(x)+\cdots+h_nf_n(x)\) es ist. Als Anwendung hiervon wird gezeigt: Es seien \(l_\nu(x)\) (\(\nu=1\),…, \(n\)) Linearformen in \(x_1\),…, \(x_m\) mit reellen Koeffizienten, derart daß die Form \(h_1l_1(x)+\cdots+h_nl_n(x)\) für jeden Gitterpunkt \((h_1,\dots,h_n)\neq(0,\dots, 0)\) mindestens einen irrationalen Koeffizienten hat. Dann sind die Formen in den \(Q\) gleichverteilt.
Eine grundlegende Eigenschaft der Gleichverteilung liefert der Satz: Gibt es für jedes natürliche \(h\) höchstens endlich viele \(Q\) in \(F\) mit \(b_1-a_1\leqq h\), ist ferner für jedes solche \(h\) die Funktion \[ f_h(x)=f(x_1+h,x_2,\dots,x_m)-f(x_1,x_2,\dots,x_m) \] in der Folge der abgeleiteten Quader \[ Q_h:\quad a_1\leqq x<b_1-h,\;a_\mu\leqq x<b_\mu\qquad(\mu=2,3,\dots,m) \] gleichverteilt, so ist es \(f (x)\) in der Folge der Quader \(Q\).
Hieraus folgt: Ist \(f(x)\) ein Polynom in \(x_1\),…, \(x_m\) mit mindestens einem nichtkonstanten Glied mit irrationalem Koeffizienten, und strebt jede Kante \(b_\mu-a_\mu\) über alle Grenzen, wenn \(Q\) durch \(F\) läuft, so ist \(f (x)\) in \(Q\) gleichverteilt. Ein entsprechender Satz gilt für Systeme von Polynomen (Satz von Weyl). Man kann mit seiner Hilfe mittels einfacher zusätzlicher algebraischer Überlegungen notwendige und hinreichende Bedingungen herleiten, damit das Ungleichungssystem \[ \displaylines{\hfill \begin{matrix} \r&\l\\ 0<f_\lambda(x)<+\varepsilon\pmod1&\qquad(\lambda=1,2,\dots,l),\\ -\varepsilon<f_\nu(x)<+\varepsilon\pmod1&\qquad(\nu=l+1,l+2,\dots,n),\\ \end{matrix}} \] wo die \(f (x)\) reelle Polynome sind, für jedes positive \(\varepsilon\) unendlich viele Lösungen hat.
Funktionen, die gleichverteilt und keine Polynome sind, werden durch folgende Resultate geliefert: (1) Sei die reelle Funktion \(f (x)\) von \(x_1\),…, \(x_m\) in jedem Gitterpunkt definiert, und strebe \[ \begin{split} \varDelta_1^{k_1}\varDelta_2^{k_2}\dots\varDelta_m^{k_m}f(x)=\\ \sum\limits_{\varkappa_1=0}^{k_1}\dots\sum\limits_{\varkappa_m=0}^{k_m} (-1)^{k_1+\cdots+k_m-\varkappa_1-\cdots-\varkappa_m} \binom{k_1}{\varkappa_1}\cdots\binom{k_m}{\varkappa_m} f(x_1+\varkappa_1,\dots,x_m+\varkappa_m), \end{split} \] wenn alle \(| x_\mu|\) unbegrenzt wachsen, gegen einen irrationalen Grenzwert. In jeder Folge von Quadern \(Q\), deren Kanten \(b_\mu-a_\mu\)(\(\mu=1\), 2,…, \(m\)) alle gegen Unendlich streben, ist \(f (x)\) gleichverteilt. (2) Sei jedem der Quader \(Q\) ein Paar positiver Zahlen \(r\), \(R\) mit \(r \leqq R\) und \[ (b_1-a_1)r\to\infty,\qquad R\to 0, \] zugeordnet und \(f (x)\) als reelle Funktion so in jedem Gitterpunkt von \(Q\) definiert, daß die Funktion \(\varDelta_1^{k_1}\varDelta_2^{k_2}\dots\varDelta_m^{k_m}f(x)\) im Quader \[ Q_k\colon\qquad\quad a_\mu\leqq x_\mu<b_\mu-k_\mu\quad(\mu=1,2,\dots,m) \] eine monoton nicht abnehmende Funktion von \(x_\mu\) ist, die in \(Q_k\) beständig im Intervall \(r\leqq\omega\leqq R\) oder\(-R\leqq\omega\leqq-r\) liegt. Dann ist \(f(x)\) in den \(Q\) gleichverteilt. Diese beiden Sätze machen die Annahme, daß \(k_1\), \(k_2\),…, \(k_m\) ganze rationale nicht negative Zahlen sind, \(k_1\) speziell positiv.
Die Sätze über Gleichverteilung erlauben auch allgemeinere diophantische Ungleichungen zu behandeln, die sogenannten Normalsysteme : Sei \(F\) wieder eine Folge von Quadern \(Q\) und jedem der \(Q\) ein System von \(n\) gleichverteilten Funktionen \[ f_\nu(x)=f_\nu(x_1,x_2,\dots,x_m)\qquad(\mu=1,2,\dots,n) \] zugeordnet. Seien ferner \(\alpha_\lambda\) und \(\beta_\lambda\)(\(\lambda=1\),2,…,\(l\)) \(2l\) reelle Zahlen und \[ \chi_\lambda(v_1,v_2,\dots,v_n)\qquad(\lambda=1,2,\dots,l) \] für jeden reellen Punkt \(v = (v_1, v_2,\dots, v_n)\) definiert, reell und stetig. Das Ungleichungssystem \[ \displaylines{\rlap{\indent(3)}\hfill \alpha_\lambda<\chi_\lambda(f_1(x)-y_1,\dots,f_n(x)-y_n)<\beta_\lambda\quad (\lambda=1,2,\dots,l)} \] hat dann und nur dann eine (und sogar unendlichviele) Lösung in ganzen \[ x_1,x_2,\dots,x_m,y_1,y_2,\dots,y_n, \] wenn ein reeller Punkt \(w = (w_1, w_2,\dots, w_n)\) mit \[ \alpha_\lambda<\chi_\lambda(w_1, w_2,\dots, w_n)<\beta_\lambda\qquad (\lambda=1,2,\dots,l) \] existiert. In diesem Fall genügt die Anzahl \(A_3(Q)\) der in \(Q\) liegenden Gitterpunkte \(x\), für die (3) bei geeigneten \(y\) lösbar ist, der Gleichung \[ \frac{A_3(Q)}{A(Q)}\to J(E), \] wenn \(Q\) durch \(F\) läuft; dabei ist \(J (E)\) der Jordansche Inhalt der Menge der Punkte \(u = (u_1, u_2,\dots, u_n)\) mit \(0\leqq u_\nu\leqq1\) (\(\nu=1\),2,…,\(n\)) zu denen ein Gitterpunkt \(z = (z_1, z_2,\dots, z_n)\) mit \[ \alpha_\lambda<\chi_\lambda(u_1-z_1,\dots,u_n-z_n)<\beta_\lambda\qquad (\lambda=1,2,\dots,l) \] bestimmt werden kann.

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References:

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[3] {\(\alpha\)}<f<{\(\beta\)} (mod. I) soll heissen, dass bei geeignet gewähltem ganzzahligemy {\(\alpha\)}<f<{\(\beta\)}
[4] {\(\Delta\)}f(x)=f(x+1)(x).
[5] Istk, so ist {\(\Delta\)} k f(x) ={\(\Delta\)}({\(\Delta\)} k f(x)).
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[7] Vergl. die Fussnote auf S. 381.
[8] “d. k. G. a. B. g.{” soll heissen “das konstante Glied ausser Betracht gelassen{” oder “die konstanten Glieder ausser Betracht gelassen{”.}}}
[9] G. Giraud, Sur la résolution approchée en nombres entiers d’un système d’équations linéaires non homogènes, Comptes Rendus des séances de la Société Mathématique de France (1914), p. 29–32. Vergl. in denselben Comptes Rendus (S. 46–48) die Mitteilung des Herrn A. Châtelet, Sur une communication de M. Georges Giraud.
[10] [{\(\alpha\)}1] bezeichnet die grösste gauze Zahl {\(\alpha\)}1.
[11] L. Kronecker, Näherungsweise ganzzahlige Auflösnng linearer Gleichungen, Monatsberichte der Kön. Preussischen Akad. der Wiss. zu Berlin (1884), S. 1179–1193; 1271–1299; Werke 3, S. 47–109.
[12] d. k. G. a. B. g. soll heissen: “das konstante Glied ausser Betracht gelassen{” oder “die konstanten Glieder ausser Betracht gelassen{”.}}
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