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On the inequality \(0 < a^x - b^y\le n\). (English) JFM 57.0236.01

G. Pólya hat 1918 [Math. Z. 1, 143–148 (1918; JFM 46.0240.04)] bewiesen: Es seien \(p_1\),…, \(p_r\) \(r\) gegebene Primzahlen. Man bilde alle Potenzprodukte \(p_1^{x_1}\cdots p_r^{x_r}\) (\(x_\varrho\ge 0\), ganz rational) und bezeichne sie, der Größe nach geordnet, mit \(a_1\), \(a_2\),\(\ldots\). Dann ist \[ \lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=\infty. \] Hieraus folgt, daß die diophantische Ungleichung \(m^x - n^y\le c\) (\(m\), \(n\), \(c\) vorgegebene ganze rationale Zahlen) nur endlich viele Lösungen \(x\), \(y\) hat, wenn \(\dfrac{\log m}{\log n}\) irrational ist. Dieses Ergebnis erfährt in der vorliegenden Arbeit einige Erweiterungen:
Verf. behandelt den allgemeinen Ausdruck \[ am^x - bn^y\qquad (a, b, m, n\quad\text{gegebene ganze Zahlen}). \]
Seine Untersuchungen stützen sich auf den bekannten Satz von \(Siegel\) über die Approximation algebraischer Zahlen durch rationale, der ihm die Abschätzung von Ausdrücken der Form \(au^r - bv^r\) für den Fall ermöglicht, daß \(a\) und \(b\) nicht beide \(r\)-te Potenzen sind. Der allgemeine Fall wird auf diesen zurückgeführt. Aus dem Beweis ergibt sich, daß es zu jeder Zahl \(\delta > 0\) eine Zahl \(x_0(\delta)\) gibt, so daß für \(x > x_0\) \[ am^x - bn^y > m^{x(1-\delta)} \]
ist, wenn \(am^x > bn^y\) und \(\dfrac{\log m\cdot\log a}{\log n\cdot\log b}\) irrational ist. Die letztgenannte Bedingung ist jedoch falsch angegeben, nämlich in der dem Fall \(a = b = 1\) entsprechenden Form “\(\dfrac{\log m}{\log n}\) irrational.”
Ein zweites Theorem schätzt den Ausdruck \[ | at^z - cy^r | \]
bei gegebenen positiven ganzen Zahlen \(a\), \(c\), \(t\), \(r\), während \(z\) und \(y\) alle ganzen Zahlen durchlaufen sollen, nach unten ab. Hieraus ergeben sich, als Folgerungen zwei Sätze:
(1) Sind \(t\) und \(r\) zwei positive ganze Zahlen \(> 1\), bildet man alle Potenzen \(t^z\) von \(t\) und die \(r\)-ten Potenzen \(y^r\) aller ganzen Zahlen \(y\) und ordnet sie der Größe nach, so strebt die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen gegen \(\infty\).
(2) Es sei \((x) = x - [x]\), \(a\) und \(t\) seien gegebene positive ganze Zahlen. Dann ist \[ \lim_{n\to\infty}t^n(t^n\sqrt a)=\infty. \]
Theorem III gibt einen Ausdruck für die Anzahl \(N(a)\) der positiven ganzzahligen Lösungen \(x\), \(y\) der Ungleichung \[ 0 < n^x - m^y\leqq a\qquad (m, n, a\quad\text{gegebene positive ganze Zahlen}) \]
und die entsprechende Anzahl \(M(a)\) für \(n^x + m^y \le a\). Es sei hier nur das abgekürzte Ergebnis mitgeteilt: \[ N(a)=\frac{(\log a)^2}{2\log n\log m}+O(\log a). \]
Für die oben erwähnten Pólyaschen Zahlen gibt der Verf. die dem Theorem I analoge Abschätzung \(a_{n+1}-a_n\ge a_n^{(1-\delta)}\), ferner in einem dem Theorem III entsprechenden Theorem IV für die Anzahl \(T(x)\) der Lösungen der Ungleichung \(0 < a_h - a_l\le x\) die Formel: \[ T(x)=\frac{(\log x)^{2r}}{2t^2}+O(\log x)^{2r-1}\qquad (t=r!\log p_1\cdots\log p_r). \]
Die Arbeit enthält mehrere sinnentstellende Druckfehler.

MSC:

11D75 Diophantine inequalities
11D61 Exponential Diophantine equations

Citations:

JFM 46.0240.04
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