Perron, O. Über einen Approximationssatz von Hurwitz und über die Approximation einer komplexen Zahl durch Zahlen des Körpers der dritten Einheitswurzeln. (English) JFM 57.0241.01 Sitzungsberichte München 1931, 129-154 (1931). Nach Hurwitz gibt es zu jeder Irrationalzahl \(\varrho\) unendlich viele rationale Zahlen \(\dfrac pq\), so daß \(\left|\varrho-\dfrac pq\right|<\dfrac1{\sqrt5q^2}\) ist; dabei kann der Faktor \(\sqrt5\) im Nenner durch keine größere Zahl ersetzt werden. Hierfür wird ein neuer kettenbruchfreier Beweis gegeben; er beruht darauf, daß für \(\dfrac{20}{81}\leqq a\leqq\dfrac54\) zu jeder reellen Zahl \(z_1\), eine Zahl \(z\equiv z_1\pmod1\), mit \(|z^2-a|\leqq\sqrt{\dfrac{4a}5}\) existiert. Hieraus folgt nämlich, daß zu jedem gekürzten Bruch \(\dfrac pq\) mit \(q^2\left|\varrho-\dfrac pq\right|=\delta<1\) (solche gibt es unendlich viele) ein zweiter Bruch \(\dfrac{p_1}{q_1}\) mit \(pq_1-p_1q=1\) und \(q_1^2\left|\varrho-\dfrac {p_1}{q_1}\right|=\delta_1\) existiert, so daß entweder \(\delta\) oder \(\delta_1\) kleiner als \(\dfrac1{\sqrt5}\) ist. – Auf ähnliche Weise wird der folgende Satz bewiesen: Zu jeder komplexen Zahl \(\varrho\), die nicht dem Körper \(\mathfrak K(\varepsilon)\) der dritten Einheitswurzeln angehört, gibt es unendlich viele Paare ganzer Zahlen \(p\), \(q\) aus \(\mathfrak K(\varepsilon)\), so daß \(\left|\varrho-\dfrac pq\right|<\dfrac1{c|q|^2}\) ist, mit \(c=\root4\of{13}\); wird dagegen \(c\) durch eine größere Zahl ersetzt, so hat z. B. für \[ \varrho=\frac{\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2+4}}2\quad \left(\varepsilon=\frac{1+\sqrt{-3}}2\right), \] diese Ungleichung nur noch endlich viele Lösungspaare. Der Beweis benutzt folgenden Hilfssatz, den man durch einfache Ungleichungen und geometrische Betrachtungen beweist: Ist \(a\) eine komplexe Zahl, so gibt es zu jeder komplexen Zahl \(z_1\) eine homologe Zahl \(z\) (d.h. so, daß \(z_1-z\) eine ganze Zahl aus \(\mathfrak K(\varepsilon)\) ist), für die die Ungleichung \(|z^2-a|^{2}\leqq\frac13+|a|^2\) besteht. Falls \(\dfrac34\leqq|a|\leqq\dfrac{\sqrt{13}}4\) ist, gibt es eine homologe Zahl \(z\), die der schärferen Ungleichung \(|z^2-a|^{2}\leqq\frac4{\sqrt{13}}|a|\) genügt, sogar mit dem Kleinerzeichen, wenn man von sechs Ausnahmefällen absieht.Um dieses Ergebnis auf den Perronschen Satz anwenden zu können, zeigt man zunächst mittels des Dirichletschen Schubladen-Verfahrens, daß zu \(\varrho\) unendlich viele Paare ganzer Zahlen \(p\), \(q\) aus \(\mathfrak K(\varepsilon)\) mit \[ \left|\varrho-\dfrac pq\right|<\dfrac{\sqrt{21}}{2|q|^2},\quad (p,q)=1, \] existieren. Setzt man \(|q|^2\left|\varrho-\dfrac pq\right|=\delta\), so gibt wiederholte Anwendung des Hilfssatzes die Existenz eines Paares ganzer Zahlen \(p_1\), \(q_1\) mit \(pq_1 - p_1q = 1\) und \(|q_1|^2\left|\varrho-\dfrac {p_1}{q_1}\right|=\delta_1\), so daß unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < 2\), also unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < \frac34\), also unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < \frac13\) und also schließlich auch unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < \frac1{\sqrt{13}}\) ist. – Die Aussage des Satzes über die spezielle Zahl \(\varrho=\frac{\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2+4}}2\) läßt sich leicht direkt ausrechnen. Reviewer: Mahler, K., Dr. (Groningen) Cited in 1 ReviewCited in 4 Documents JFM Section:Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 9. Diophantische Approximationen. Geometrie der Zahlen. Transzendente Zahlen. × Cite Format Result Cite Review PDF