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Über einen Approximationssatz von Hurwitz und über die Approximation einer komplexen Zahl durch Zahlen des Körpers der dritten Einheitswurzeln. (English) JFM 57.0241.01

Nach Hurwitz gibt es zu jeder Irrationalzahl \(\varrho\) unendlich viele rationale Zahlen \(\dfrac pq\), so daß \(\left|\varrho-\dfrac pq\right|<\dfrac1{\sqrt5q^2}\) ist; dabei kann der Faktor \(\sqrt5\) im Nenner durch keine größere Zahl ersetzt werden. Hierfür wird ein neuer kettenbruchfreier Beweis gegeben; er beruht darauf, daß für \(\dfrac{20}{81}\leqq a\leqq\dfrac54\) zu jeder reellen Zahl \(z_1\), eine Zahl \(z\equiv z_1\pmod1\), mit \(|z^2-a|\leqq\sqrt{\dfrac{4a}5}\) existiert. Hieraus folgt nämlich, daß zu jedem gekürzten Bruch \(\dfrac pq\) mit \(q^2\left|\varrho-\dfrac pq\right|=\delta<1\) (solche gibt es unendlich viele) ein zweiter Bruch \(\dfrac{p_1}{q_1}\) mit \(pq_1-p_1q=1\) und \(q_1^2\left|\varrho-\dfrac {p_1}{q_1}\right|=\delta_1\) existiert, so daß entweder \(\delta\) oder \(\delta_1\) kleiner als \(\dfrac1{\sqrt5}\) ist. – Auf ähnliche Weise wird der folgende Satz bewiesen: Zu jeder komplexen Zahl \(\varrho\), die nicht dem Körper \(\mathfrak K(\varepsilon)\) der dritten Einheitswurzeln angehört, gibt es unendlich viele Paare ganzer Zahlen \(p\), \(q\) aus \(\mathfrak K(\varepsilon)\), so daß \(\left|\varrho-\dfrac pq\right|<\dfrac1{c|q|^2}\) ist, mit \(c=\root4\of{13}\); wird dagegen \(c\) durch eine größere Zahl ersetzt, so hat z. B. für \[ \varrho=\frac{\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2+4}}2\quad \left(\varepsilon=\frac{1+\sqrt{-3}}2\right), \] diese Ungleichung nur noch endlich viele Lösungspaare. Der Beweis benutzt folgenden Hilfssatz, den man durch einfache Ungleichungen und geometrische Betrachtungen beweist: Ist \(a\) eine komplexe Zahl, so gibt es zu jeder komplexen Zahl \(z_1\) eine homologe Zahl \(z\) (d.h. so, daß \(z_1-z\) eine ganze Zahl aus \(\mathfrak K(\varepsilon)\) ist), für die die Ungleichung \(|z^2-a|^{2}\leqq\frac13+|a|^2\) besteht. Falls \(\dfrac34\leqq|a|\leqq\dfrac{\sqrt{13}}4\) ist, gibt es eine homologe Zahl \(z\), die der schärferen Ungleichung \(|z^2-a|^{2}\leqq\frac4{\sqrt{13}}|a|\) genügt, sogar mit dem Kleinerzeichen, wenn man von sechs Ausnahmefällen absieht.
Um dieses Ergebnis auf den Perronschen Satz anwenden zu können, zeigt man zunächst mittels des Dirichletschen Schubladen-Verfahrens, daß zu \(\varrho\) unendlich viele Paare ganzer Zahlen \(p\), \(q\) aus \(\mathfrak K(\varepsilon)\) mit \[ \left|\varrho-\dfrac pq\right|<\dfrac{\sqrt{21}}{2|q|^2},\quad (p,q)=1, \] existieren. Setzt man \(|q|^2\left|\varrho-\dfrac pq\right|=\delta\), so gibt wiederholte Anwendung des Hilfssatzes die Existenz eines Paares ganzer Zahlen \(p_1\), \(q_1\) mit \(pq_1 - p_1q = 1\) und \(|q_1|^2\left|\varrho-\dfrac {p_1}{q_1}\right|=\delta_1\), so daß unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < 2\), also unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < \frac34\), also unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < \frac13\) und also schließlich auch unendlich oft \(\operatorname{Min} (\delta^2,\delta_1^2) < \frac1{\sqrt{13}}\) ist. – Die Aussage des Satzes über die spezielle Zahl \(\varrho=\frac{\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2+4}}2\) läßt sich leicht direkt ausrechnen.