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Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. I. (German) JFM 57.0242.03

Es werden folgende Tatsachen bewiesen: Sind \(\vartheta_1,\ldots, \vartheta_N\) irgend \(N\) algebraische Zahlen, die linear unabhängig sind in bezug auf den Körper der rationalen Zahlen, bedeutet ferner \(\lambda\) eine beliebige Liouville-Zahl, so sind die Zahlen \(e^{\vartheta_1},\ldots, e^{\vartheta_N}\), \(\lambda\) algebraisch unabhängig in bezug auf den Körper der algebraischen Zahlen. Bedeutet ferner \(z\) den reellen Logarithmus einer positiven rationalen von 1 verschiedenen Zahl, oder ist \(z=\pi\), und bedeutet \(\lambda\) eine beliebige Liouville-Zahl, so sind die beiden Zahlen \(z\), \(\lambda\) algebraisch unabhängig in bezug auf den Körper der algebraischen Zahlen. Der Beweis dieser Tatsachen beruht auf einer Einteilung aller transzendenten Zahlen in drei Klassen nach ihrer Fähigkeit, sich durch algebraische Zahlen mehr oder weniger gut annähern zu lassen, derart, daß je zwei Zahlen aus verschiedenen Klassen algebraisch unabhängig sind. Der Beweis liefert über die obigen Tatsachen hinaus schärfere Aussagen über die “Stärke” der algebraischen Unabhängigkeit in Form von unteren Abschätzungen der entsprechenden “Näherungsformen” und insbesondere Aussagen über die “Stärke” der Transzendenz von \(e\) und \(\pi\).

MSC:

11J81 Transcendence (general theory)
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
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Full Text: EuDML