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Neuer Beweis und Verallgemeinerung einiger Tauberian-Sätze. (German) JFM 57.0261.05
Mit der gleichen Methode, mit der Verf. so überraschend kurz die Littlewoodsche Umkehrung des Abelschen Grenzwertsatzes bewiesen hat (1930; JFM 56.0210.*) werden jetzt einige weitergehende Limitierungs-Umkehrsätze bewiesen, insbesondere, als unmittelbare Anwendung eines sehr allgemein formulierten Hauptsatzes, der folgende, der die Hardy-Littlewoodschen Umkehrsätze aus dem Jahre 1914 (F. d. M. 45, 389 (JFM 45.0389.*)-391) als Spezialfälle enthält. Bei ihm werden statt der Potenzreihen Laplaceintegrale betrachtet (die Potenzreihen und Dirichletsche Reihen als Spezialfälle umfassen), und es wird eine stetige positive und mit \(x\) ins Unendliche wachsende Funktion \(\varphi (x)\) regulär wachsend genannt, wenn sie für ein \(\sigma \geqq 0\) die Form \(x^{\sigma} L(x)\) hat und dabei \(L (x)\) eine Funktion bedeutet, die bei festem \(x > 0\) für \(r \to + \infty\) die Bedingung \[ \frac{L(xr)}{L(r)} \to 1 \] erfüllt. Der in Rede stehende Satz lautet dann:
Es sei \(A (x)\) nicht abnehmend, \(\varphi(x)\) regulär wachsend und das Stieltjessche Laplaceintegral \[ f(s) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} \, dA(t) \] für \(s > 0\) konvergent. Aus \[ f(s) \sim \varphi \left( \frac{1}{s} \right) \quad \text{für} \quad s \to +0 \] folgt dann \[ A(x) \sim \frac{1}{\varGamma (\sigma+1)} \varphi(x) \quad \text{für} \quad x \to +\infty. \]

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