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Neuer Beweis und Verallgemeinerung der Tauberschen Sätze, welche die Laplacesche und Stieltjessche Transformation betreffen. (German) JFM 57.0262.01
Die vorliegende Arbeit schließt sich insbesondere an die Arbeiten von G. Doetsch (1930; JFM 56.0365.*-367) und O. Szász (1930; JFM 56.0367.*) sowie an die diesen Arbeiten zugrundeliegende Arbeit von Hardy und Littlewood (Notes on the theory of series XI, Proceedings L. M. S. (2) 30 (1929), 23-27; JFM 55.0732.*) an. Es handelt sich um die in dem Referat über die letztgenannte Arbeit mit (1) und (2) bezeichneten Sätze, die Hardy und Littlewood aus dem dort mit (4) bezeichneten Satz herleiten, während Doetsch a. a. O. (4) aus (1) und (2) herleitet. Verf. gibt im Anschluß an frühere eigene Untersuchungen einen zugleich auf (1) und auf (2) in verallgemeinerter Form führenden Beweis und einen neuen Beweis dafür, daß (4) aus den Verallgemeinerungen von (1) und (2) folgt. Ferner wird (1) im Anschluß an Untersuchungen von Robert Schmidt in bezug auf die Voraussetzung \(f (x) > 0\) verallgemeinert.
Den Betrachtungen liegen folgende Sätze zugrunde:
(I) Es sei \(L (x)\) für \(x \geqq 0\) stetig, positiv und \[ \frac{L(ux)}{L(x)} \to 1 \] bei \(x \to \infty\) bzw. bei \(x \to 0\) für jedes \(u > 0\); ferner sei \[ e^{-st} f(t) \geqq 0 \] für \(t \geqq 0\) und für jedes \(s > 0\) im Intervall \((0, \infty)\) integrabel. Aus \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \sim s^{-\sigma} L \left( \frac{1}{s} \right) \qquad (\sigma \geqq 0) \] bei \(s \to 0\) bzw. bei \(s \to \infty\) folgt dann \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} g(st) f(t) \, dt \sim s^{-\sigma} L \left( \frac{1}{s} \right) \frac{1}{\varGamma (1+\sigma)} \int\limits_{0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, d(t^{\sigma}) \] bei \(s \to 0\) bzw. bei \(s \to \infty\) für jede beschränkte und \(R\)-integrable Funktion \(g (t)\). Für \(\sigma = 0\) ist unter \(t^{\sigma}\) diejenige Funktion zu verstehen, welche für \(t = 0\) gleich Null ist, sonst gleich Eins, und \(g (t)\) soll in diesem Falle für \(t = 0\) stetig sein.
(II) Das Analogon von (I), in dem \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] durch ein Stieltjesintegral von der Form \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} \, d\{A(t)\} \] ausgedrückt wird.
(III) Ein wiederum mit Stieltjesintegralen zusammenhängender Satz, aus dem eine Verallgemeinerung des oben erwähnten Satzes (4) gewonnen wird.
(IV) Verallgemeinerungen, in denen die (zunächst vorausgesetzte) Monotonie der im Stieltjesintegral auftretenden Funktion \(A(t)\) durch eine schwächere Voraussetzung ersetzt wird.
In der Richtung des Satzes (I) ergibt sich so:
Es sei die Funktion \(L (x)\) für \(x \geqq 0\) stetig und positiv und \[ \frac{L(ux)}{L(x)} \to 1 \quad \text{bei} \quad x \to \infty \quad \text{für jedes} \quad u>0; \] ferner sei \(A (x)\) von beschränkter Schwankung, und es existiere das Integral \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} \, d\{A(t)\} \quad \text{für jedes} \quad s > 0. \] Aus \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} \, d\{A(t)\} \sim s^{-\sigma} L \left( \frac{1}{s} \right) \quad \text{bei} \quad s \to 0, \, \sigma \geqq 0 \] und \[ \underset{x \to \infty} {\lim \, \inf} \underset{x \leqq t \leqq \lambda x} {\text{Min}} \frac{A(t)-A(x)}{x^{\sigma} L(x)} > - w(\lambda{)} 0 \quad \text{bei} \quad 1 < \lambda 1 \] folgt \[ A(x) \sim x^{\sigma} L(x) \quad \text{bei} \quad x \to \infty. \] Dieser Satz ist für Potenzreihen in etwas schwächerer Form von Robert Schmidt (M. Z. 22 (1925), 89-159; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*)-184) bewiesen worden; für Dirichletsche Reihen dagegen ist er neu. (IV 3 C, 7.)

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Full Text: DOI Crelle EuDML