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Quelques théorèmes sur les séries trigonométriques et celles de puissances. (German) JFM 57.0317.02

Vier getrennte Sätze werden bewiesen:
I. Die trigonometrische Reihe \(\sum(a_k\cos n_kx+b_k\sin n_kx)\) erfülle die Lückenbedingung \[ \frac{n_{k+1}}{n_k}>q>1. \] Wenn die Teilsummen in einem Intervall einseitig beschränkt bleiben, so konvergiert die \(\sum(|a_k|+|b_k|\)). (Verallgemeinerung eines Satzes von Fatou (1906; F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*)); vgl. Sidon (1927; F. d. M. 53, 252 (JFM 53.0252.*)).)
II. Die für \(|z|< 1\), \(z = re^{i\vartheta}\), konvergente Potenzreihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_nz_n\) besitze auf \(|z|=1\) fast überall Randwerte \(f(e^{i\vartheta})=f^*(\vartheta)\). Die Funktion \(f^*(\vartheta)\) sei \(L\)-integrierbar. Ist dann \(\varphi(x)\) für \(x \geqq 0\) eine meßbare, in jedem endlichen Intervall beschränkte Funktion mit \(\dfrac{\varphi(x)}x\to \infty\) für \(x\to \infty\), und ist für \(r\to 1\) \[ \int\limits_0^{2\pi}\varphi(\overset {+} \log|f(re^{i\vartheta})|)\,d\vartheta=O(1), \] so gilt \[ c_n=\frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f^*(\vartheta)e^{-in\vartheta}\,d\vartheta. \] Für \(\varphi(x)\equiv x\) ist der Satz falsch (vgl. Smirnoff, 1929, JFM 55.0182.*, wo \(\varphi(x)=e^{\alpha x}\), \(\alpha > 0\), ist).
III. \(f(\vartheta)\) sei eine \(L\)-integrierbare Funktion der Periode \(2\pi\) und \[ f(\vartheta)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n \cos n\vartheta + b_n \sin n\vartheta). \] Für ein festes \(\vartheta_0\) sei die Funktion \[ \varphi(\vartheta)=\frac{f(\vartheta_0+\vartheta)-f(\vartheta_0-\vartheta)} {4\operatorname{tg}\frac{\vartheta}2} \] \(L\)-integrierbar.
Notwendig und hinreichend dafür, daß für ein \(k\geqq 0\) die differenzierte Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty n(b_n \cos n\vartheta_0-a_n\sin n\vartheta_0) \] \((C,k+1)\)-summierbar zum Werte \(s\) sei, ist die \((C,k)\)-Summierbarkeit der Fourierschen Beihe von \(\varphi(\vartheta)\) in \(\vartheta=0\) zum Werte \(s\) (vgl. W. H. Young (1918; F. d. M. 46, 451 (JFM 46.0451.*)) und Rajchman (1917; F. d. M. 46, 1460 (JFM 46.1460.*)), wo das “Hinreichend” bewiesen ist).
IV. Ein elementarer Beweis für den Carlemanschen Satz über beschränkte Potenzreihen (C. R. 174 (1922), 373; F. d. M. 48, 295).

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