×

zbMATH — the first resource for mathematics

A note on the theory of infinite series. (English) JFM 57.0334.01
Es sei \(\{u_n(x)\}\) eine gleichmäßig beschränkte Folge von (im Lebesgueschen Sinne) integrierbaren Funktionen, die auf der beschränkten, meßbaren Menge \(E\) definiert seien; \(e\) bezeichne eine beliebige meßbare Teilmenge von \(E\) und \(\mu(e)\) das Maß von \(e\). Weiterhin setze man \[ \liminf_{n\to \infty}\int\limits_e|u_n(x)|\,dx=\lambda(e). \] Verf. zeigt, daß im Falle \(\mu(e) > 0\) die Bedingung \(\lambda(e) > 0\) notwendig und hinreichend ist dafür, daß aus \(\sum a_nu_n(x)\) konvergent fast überall in \(e\) stets folgt \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\); sie ist gleichfalls notwendig und hinreichend, um schließen zu können, daß stets, wenn \(\sum |a_nu_n(x)|\) fast überall in \(e\) konvergiert, dann auch \(\sum |a_n|\) konvergiert. Die klassischen Sätze von Georg Cantor und von Fatou über trigonometrische Reihen sind Spezialfälle des Hinreichens der Bedingung \(\lambda(e)> 0\). Die Sätze von Lebesgue (Leçons sur les séries trigonométriques (1906; F. d. M. 37, 281 (JFM 37.0281.*)-283), p. 110) und Denjoy-Lusin (1912; F. d. M. 43, 319 (JFM 43.0319.*)) werden in ähnlicher Weise durch die notwendige und hinreichende Bedingung, daß \(\lambda(e) > 0\) ist, falls \(\mu(e) > 0\), verallgemeinert. Als Anwendung wird gezeigt: Bilden die Funktionen \(u_n(x)\) ein normiertes Orthogonalsystem auf der Menge \(E\), und ist \(e\equiv E\), dann besitzen die Funktionen auf dieser Menge diejenigen Eigenschaften, welche für die trigonometrischen Funktionen im Intervall \((0,2\pi)\) durch die Sätze von Cantor (1870; F. d. M. 2, 218 (JFM 02.0218.*)) und Fatou (1906; F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*)-285) ausgesprochen werden.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI