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Ein Konvergenzsatz für mehrvariablige Fouriersche Integrale. (German) JFM 57.0337.01
Während das Konvergenzverhalten der Fourierreihe einer Funktion \(f(x)\) von einer Veränderlichen an einer Stelle \(x_0\) nur von dem Verhalten von \(f(x)\) in einer \(\varepsilon\)-Umgegebung von \(x_0\) abhängt, ist bei zwei Veränderlichen \(x\), \(y\) das Verhalten in den beiden Streifen \(|x- x_0|<\varepsilon\) (\(y\) beliebig) und \(|y-y_0| <\varepsilon\) (\(x\) beliebig) von Einfluß. Die schärferen Konvergenzkriterien sind daher ziemlich kompliziert.
Eher noch größer ist die Komplizierung bei Fourierschen Integralen: \(f(x, y)\) sei in der ganzen Ebene definiert, \(L\)-integrierbar, und es habe \(|f(x,y)|\), über die ganze Ebene genommen, ein endliches Flächenintegral. Der Fourierschen Doppelreihe entspricht dann das Doppelintegral \[ \iint \varGamma(\alpha,\beta)e^{i(\alpha x+ \beta y)}\,d\alpha\,d\beta \quad \text{mit} \quad \varGamma(\alpha,\beta)= \frac 1{4\pi^2} \iint f(\xi,\eta)e^{-i(\alpha\xi+\beta\eta)}\,d\xi\,d\eta, \tag \(^*\) \] die Integrale überall von \(-\infty\) bis \(+\infty\) genommen. Den “rechteckigen” Teilsummen der Fourierreihe entsprechen die “rechteckigen” Teilintegrale von (*), wenn dort als Grenzen \(- a\), \(+ a\) bzw. \(- b\), \(+ b\) genommen werden.
Damit nun an einer Stelle \(x_0\), \(y_0\) diese rechteckigen Teilintegrale für \(a\), \(b \to \infty\) gegen \(f(x_0,y_0)\) oder einen passend definierten Grenzwert von \(f(x,y)\) an der Stelle \(x_0\), \(y_0\) konvergieren, sind wieder Einschränkungen über das Verhalten von \(f(x,y)\) in zwei Streifen der obengenannten Art nötig.
Verf. bemerkt nun, daß sich ein ziemlich einfacher Konvergenzsatz aufstellen läßt, wenn man “kreisförmige” Teilintegrale betrachtet, also in (*) über \(\alpha^2+\beta^2\leqq R^2\) integriert und dann \(R \to +\infty\) gehen läßt. Er lautet: Damit hierbei für \(R \to + \infty\) ein endlicher Grenzwert erhalten wird, ist es hinreichend, daß der kreisförmige Mittelwert von \(f(x,y)\) um \((x_0,y_0)\) herum, d. h. die Funktion \[ g(t)=\frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x_0+t\cos\varphi, y_0+t\sin \varphi)\,d\varphi, \] als Funktion von \(t\) von beschränkter Schwankung ist. Der in Rede stehende Grenzwert ist dann \(=\lim\limits_{t\to 0}g(t)\).

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