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Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynomes et aux fonctions bornées d’une variable complexe. (French) JFM 57.0355.02

Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit werden von M. Biernacki (1927; JFM 56.0863.*) begonnene Untersuchungen fortgesetzt. Es werden Polynome \[ 1+a_1x+ \cdots + a_px^p+a_{p+1}x^{p+1}+ \cdots +a_nx^n \] betrachtet. Dabei sollen \(a_1,\ldots,a_p\) fest gegebene Werte haben, und es sollen \(a_{p+1},\ldots, a_n\) variabel sein. Es handelt sich darum, die kleinste Zahl \(\varrho_\nu\) anzugeben derart, daß im Kreise \(|x|\leqq \varrho_\nu\) jedes der Polynome mindestens \(\nu\) Wurzeln hat (\(\nu=1, 2, \ldots,p\)). Nach Verschärfung eines Lemmas von Biernacki entwickelt Verf. ein Verfahren zur Berechnung von \(\varrho_\nu\). Für gewisse Typen von Polynomen wird die Berechnung dann durchgeführt: \[ 1+x^2+a_3x^3+ \cdots+a_{n-2}x^{n-2}+a_nx^n=0 \quad (a_n\neq 0); \] Verf. findet als genaue Schranken: \[ \begin{gathered} \varrho_1=\sqrt{\frac n2}\quad \text{für gerade}\quad n,\quad \varrho_1=\sqrt{\frac{n(n-3)}{2(n-1)}}\quad \text{für ungerade}\quad n,\\ \varrho_2=\sqrt{\frac{n(n-3)}2}. \end{gathered} \]
\[ 1+x^2+a_3x^3+ \cdots + a_nx^n=0; \tag{2} \]
\[ \begin{gathered} \varrho_1=\sqrt{\frac n2}\quad \text{für gerade}\quad n,\quad \varrho_1=\sqrt{\left[\frac n2\right]}\quad \text{für ungerade}\quad n,\\ \varrho_2=\sqrt{\frac{n(n-1)}2}. \end{gathered} \] (Van Vleck, Biernacki). \[ 1+x^2+a_4x^4+ \cdots + a_nx^n=0; \tag{3} \]
\[ \varrho_1=\sqrt{\left[\frac n2\right]}, \quad \varrho_2 \sim \sqrt{\frac n2}. \]
\[ 1+a_1x+ \cdots + a_nx^n=0; \quad (a_1,a_2,\ldots, a_p \;\text{fest}); \tag{4} \] wegen der Formulierung des Ergebnisses sei auf die Arbeit verwiesen.
Im zweiten Teil von Kap. I handelt es sich um die Bestimmung der Minimalzahl der Wurzeln des Polynoms \[ 1+x^p+ a_1x^{n_1}+ a_2x^{n_2} \quad (p<n_1<n_2), \] die in \(|x|\leqq 1\) gelegen sind. Dabei sind \(p\), \(n_1\), \(n_2\) fest, \(a_1\), \(a_2\) variabel. Verf. findet eine untere Schranke für diese Anzahl. Ist z. B. \(p\) gerade, und wird \(\varrho=\left|\dfrac{a_2}{a_1}\right|\) gesetzt, so hat das Polynom mindestens eine Wurzel in \(|x|\leqq 1\), wenn entweder \(\varrho \geqq 1\) oder \(\varrho\leqq \dfrac{n_1-p}{n_2-p}\), es sei denn, daß \(n_1\) oder \(n_2\) ein Vielfaches von \(p\) ist. Die übrigen \(\varrho\) verlangen ein genaueres Eingehen auf die arithmetischen Eigenschaften der \(p\), \(n_1\), \(n_2\). Wegen der Ergebnisse muß wieder auf die Arbeit verwiesen werden.
In Kap. II befaßt sich Verf. mit schlichter Abbildung durch Polynome. Er zeigt: Dafür, daß \[ z + a_2z^2+ \cdots +a_nz^n \] den Kreis \(|z|<1\) schlicht abbildet, ist notwendig und hinreichend, daß \[ 1+ a_2x\frac{\sin 2\vartheta}{\sin \vartheta}+ \cdots a_nx^{n-1}\frac{\sin n\vartheta}{\sin \vartheta}=0 \] für kein \(\vartheta\) eine Wurzel in \(|x|<1\) besitzt. Hieraus erschließt Verf. aufs neue verschiedene bekannte Ergebnisse über die Koeffizienten \(a_\nu\); aber es ergeben sich ihm auch einige neue Resultate:
(5) Sind in \(f(z)=z+a_2z^2+\cdots\) die Koeffizienten reell, und ist \(f(z)\) in \(|z|<1\) schlicht, so ist \[ |a_n|\leqq n. \]
(6) Sind in \(f(z)=z+a_3z^3+\cdots\) die \(a_{2n}=0\), die \(a_{2n+1}\) reell, und ist \(f(z)\) in \(|z|<1\) schlicht, so ist \[ |a_3|\leqq 1,\quad |a_{2n-1}|+|a_{2n+1}|\leqq 2. \] Bei \(\dfrac z{1-z^2}\) werden die Schranken erreicht.
(7) Der Schlichtheitsradius von \(z+z^2+ az^n\) mit \(n\geqq 7\) ist höchstens \[ r_n=\frac 1{2\cos \dfrac \pi n}; \] diese Schranke wird bei \[ z+z^2+(-1)^{n-1}2^{n-1}\frac{\left(\sin \dfrac \pi n\right)^2 \left(\cos \dfrac \pi n\right)^{n-2}}2\,z^n \] erreicht. – Weiter findet Verf: \[ r_3=\frac{2\sqrt 2}3=0,939 \ldots, \] wird erreicht bei \[ \begin{gathered} z+z^2+\frac 38z^3; \\ r_4=\frac{3\sqrt 6-2}{2\root 4\of {216}}=0,697 \ldots, \end{gathered} \] wird erreicht bei \[ z+z^2-4\left(\frac{\sqrt 6}{3\sqrt 6 -2}\right)^3z^4. \] Weiter ist angenähert \[ r_5= 0,6158, \quad r_6= 0,57734. \]
(8) Der Schlichtheitsradius von \(z+z^p+ az^n\), \(n > p\), ist höchstens \[ \begin{aligned} \left(\frac 1p\right)^{\tfrac 1{p-1}}, \;&\text{wenn} \;n-1 \;\text{nicht durch} \;p-1 \;\text{teilbar ist};\\ \left(\frac{\sin \dfrac \pi n}{\sin \dfrac {p\pi}n}\right)^{\tfrac 1{p-1}}, \;&\text{wenn} \;p- 1|n-1. \end{aligned} \] Diese Schranke wird erreicht, wenn \(\dfrac{n-1}{p-1}=h>h_0\), \(h_0\) eine gewisse Zahl \(\leqq 12\).
Kap. III betrachtet die Familie \(e_M\) der Funktionen \(f(z)=z+a_2z^2+\cdots\), für die \[ |f(z)|\leqq M \quad \text{in} \quad |z|< 1. \] Ist dann \(\varrho_p\) die zwischen 0 und l gelegene Wurzel der Gleichung \[ 1 + x^2 + x^4+ \cdots +x^{2p}- (p + 1)Mx^p= 0, \] so nimmt jedes \(f(z)\) aus \(e_M\) im Kreis \(|z|< \varrho_p\) keinen Wert mehr als \(p\)-mal an. Diese Aussage ist für kein größeres \(\varrho\) richtig. Die einzigen Funktionen in \(e_M\), für die in jedem größeren Kreis gewisse Werte mehr als \(p\)-mal angenommen werden, sind \[ Me^{i\psi}\frac{(z-\varrho_pe^{i\psi})^{p+1} -\varrho_p^{p+1}(\varrho_pz-e^{i\psi})^{p+1}} {\varrho_p^{p+1}(z-\varrho_pe^{i\psi})^{p+1} -(\varrho_pz-e^{i\psi})^{p+1}}. \] Eine besondere Betrachtung wird dann dem durch Landau bereits bekannten Fall \(p=1\) gewidmet.
Weiter beschäftigt sich Verf. mit der Familie \(F_M\) derjenigen Funktionen \(f(z)=a_1z+a_2z^2+\ldots\), für die \[ |f(z)|\leqq M \quad \text{in} \quad |z|<1. \] Für dieselben ist \[ \begin{aligned} &|f'(z)|\leqq M \quad \text{in} \quad |z|\leqq \sqrt 2-1, \\ &|f'(z)|\leqq \frac{M(1+|z|^2)^2}{4|z|(1-|z|^2)}\quad \text{in} \quad |z|>\sqrt 2 - 1. \end{aligned} \] Die zweite Schranke wird in \(z=a> \sqrt 2 - 1\) für \[ \frac{Mz\left(1-\dfrac {a(1+a^2)}{3a^2-1}z\right)} {\dfrac{a(1+a^2)}{3a^2-1}-z} \] erreicht. Hieraus ergeben sich Beziehungen zwischen den Bildbereichen, die \(\dfrac{f(z)-f(0)}z\) und \(f'(z)\) von \(|z|<r<1\) vermitteln. Weiter ergibt sich aus den letzten Ungleichungen ein Beweis nebst gewissen Verschärfungen eines Montelschen Satzes (1930; JFM 56.0967.*). (III 3, IV 5, 6 A.)

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