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Sur les séries de Taylor n’ayant que des singularités algébrico-logarithmiques sur leur cercle de convergence. (French) JFM 57.0373.03
Kap. I der vorliegenden Arbeit gibt als Anwendung der Stirlingschen Formel eine neue asymptotische Abschätzung der Koeffizienten \(a_n\) von \[ \sum a_nz^n=(1-z)^{-s}\left(\log \frac 1{1-z}\right)^k. \] Hier ist \(s\) eine komplexe, \(k\) eine positive ganze Zahl. Eine analytische Funktion heißt an der Stelle 1 algebro-logarithmisch, wenn sie sich in der Umgebung in der Form \[ \varphi(z)(1-z)^{-s}\left(\log \frac 1{1-z}\right)^k \] darstellen läßt; \(\varphi(1)\neq 0\), \(\varphi(z)\) regulär in \(z=1\). Gewicht einer solchen singulären Stelle, wie sie für die Lösungen von Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse charakteristisch sind, heißt das Zahlenpaar \[ \begin{matrix} \l \quad & \l \quad & \l \\ (\operatorname{Re} s, k) &\text{für}&s\neq 0,- 1, - 2,\ldots; \\ (s,k-1) &\text{für}&s= 0, -1, -2,\ldots, k>0; \\ (-\infty,0) &\text{für}&s= 0, - 1, - 2,\ldots, k = 0. \end{matrix} \] Die singulären Elemente werden nach dem Gewicht geordnet: \[ (\alpha,\beta) > (\alpha',\beta'), \quad \text{wenn} \quad \alpha < \alpha', \quad \text{oder} \quad \alpha=\alpha', \;\beta > \beta'. \] Gewicht eines singulären Punktes ist das Gewicht seines schwersten Elements. Dann gelten die folgenden beiden Sätze: Hat eine Potenzreihe \(\sum c_\nu z^\nu\) an ihrer Konvergenzgrenze nur Singularitäten der Fuchsschen Klasse, und hat \(c\) ein größeres Gewicht \((\sigma,k)\) als die übrigen, so ist \[ |c_n||c|^n >o(1)n^{\sigma-1}(\log n)^k \quad \text{und} \quad \frac {c_{n_\nu}}{c_{n_\nu+1}}\to c \] für eine Folge \(0 < n_1 < n_2 < \cdots\) mit \(\dfrac \nu{n_\nu}\to 1\).
Bewiesen wird ferner der folgende Satz (von Pólya): Wenn \(\sum c_\nu z^\nu\) in \(|z| < 1\) konvergiert und am Rand nur Singularitäten der Fuchsschen Klasse hat, so gibt es drei ganze Zahlen \(r > 0\), \(k\geqq 0\), \(l> 0\), zwei Zahlen \(A > 0\), \(B > 0\) und ein reelles \(\sigma\), so daß für genügend große \(n\) gilt: \[ An^{\sigma-r}(\log n)^k\leqq |c_{n-1}|+\cdots +|c_{n-l}| \leqq Bn^{\sigma-1}(\log n)^k. \]
Es folgen zwei Anwendungen in Verbindung mit dem Hadamardschen Kompositionssatz sowie auf den folgenden von Pólya angegebenen Satz: Zerlegt man eine Potenzreihe \(\sum c_\nu z^\nu\) in zwei andere \(\sum c_{\lambda_k}z^{\lambda_k}\) und \(\sum c_{\mu_k}z^{\mu_k}\) vom gleichen Konvergenzradius, so können nicht beide auf dem Konvergenzkreis keine andern Singularitäten besitzen als eine einzige der Fuchsschen Klasse.
Kap. V gibt Verschiedenes zum Hadamardschen Kompositionssatz. Zunächst wird erinnert: Wenn \(a(z) = \sum a_n z^n\) und \(b(z)=\sum a_nb_nz^n\) rationale Funktionen darstellen, so ist auch die komponierte \(ab(z)=\sum a_nb_nz^n\) rational. Sind \(a(z)\), \(b(z)\) algebraisch, so auch \(ab(z)\). Aus nachgelassenen Papieren von Hurwitz wird mitgeteilt: Genügen \(a(z)\) und \(b(z)\) einer linearen homogenen Differentialgleichung mit rationalen Koeffizienten, so auch \(ab(z)\). Dieser Satz wird wie folgt verschärft: Genügen \(a(z)\) und \(b(z)\) einer Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse, so auch \(ab(z)\). Ebenso auch \(a(z) +b(z)\). (IV 6 A, 9.)

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