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Sur les variétés définies par une relation entière. (French) JFM 57.0389.02

Verf. beweist zunächst in Erweiterung einer früheren Note (1930; JFM 56.0981.*) einige Sätze aus dem Cousinschen Ideenkreise. Im folgenden sei mit \(C\) stets eine irreduzible zweidimensionale Mannigfaltigkeit bezeichnet, die als Nullstellenmannigfaltigkeit einer ganzen Funktion \(F(w, z)\) der beiden komplexen Variablen \(w\) und \(z\) auftreten kann. Sei eine endliche oder abzählbar unendliche Menge solcher Mannigfaltigkeiten \(C_n\) vorgegeben und zu jeder eine auf ihr reguläre Funktion \(\varphi_n\). Dann gibt es immer eine ganze Funktion \(F(w,z)\), die auf den \(C_n\) die dort durch die \(\varphi_n\) vorgeschriebenen Werte annimmt, falls es im Kleinen zu jedem Punkt \(M\) der \(C_n\) eine in der Umgebung von \(M\) reguläre Funktion \(f(w, z)\) gibt, die in dieser Umgebung die angegebene Eigenschaft besitzt.
Sind \(F(w, z)\) und \(G(w, z)\) zwei beliebige ganze Funktionen, so gibt es stets zwei weitere ganze Funktionen \(U\) und \(V\), sodaß \[ UF+VG \equiv 1, \] falls \(F\) und \(G\) keine gemeinsame Nullstelle haben. Haben \(F\) und \(G\) isolierte gemeinsame Nullstellen, so kann man \(U\) und \(V\) so finden, daß \[ UF+VG \equiv W(w)Z(z) \] ist, wo \(W\) und \(Z\) ganze Funktionen von \(w\) bzw. \(z\) allein sind. Läßt sich eine dritte ganze Funktion \(H(w, z)\) in der Umgebung einer jeden gemeinsamen Nullstelle von \(F\) und \(G\) in der Form \(H = uF + vG\) darstellen, wo \(u\) und \(v\) in dieser Umgebung regulär sind, so gibt es auch zwei ganze Funktionen \(U\) und \(V\), so daß \[ H \equiv UF+ VG. \]
Auf den Flächen \(C\) wird jetzt allgemein die Theorie der Abelschen Integrale aufgebaut. Darunter sind Funktionen zu verstehen, die auf \(C\) meromorph, im Kleinen eindeutig sind und bei Fortsetzung längs eines auf \(C\) geschlossenen, nicht auf einen Punkt zusammenziehbaren Weges um eine additive Konstante vermehrt werden. Solche Funktionen lassen sich in der Form \[ I= \int\limits_{M_0}^M \varphi dz \] darstellen, wo \(\varphi\) auf \(C\) eindeutig ist. Es gilt dann sofort auch \[ I = \int\limits_{(w_0, z_0)}^{(w,z)} R(w,z)dz, \] wo \(R\) eine im ganzen endlichen Raum meromorphe Funktion von \(w\) und \(z\) ist und der Integrationsweg auf \(C\) liegt. \(I\) heißt ein Integral erster Gattung, wenn es in allen endlichen Punkten von \(C\) endlich ist. (Man muß sich im allgemeinen in allen Definitionen auf die endlichen Punkte von \(C\) beschränken, da eine Abschließung der Fläche durch unendlich ferne Punkte im projektiv komplexen Raum nur für algebraische Flächen möglich ist.) Ist \(I\) erster Gattung, so gilt \[ I = \int\limits \dfrac{P(w,z)}{F_w} dz, \] wo \(P\) eine ganze Funktion ist und \(F\) eine ebensolche, die \(C\) als einfache Nullstellenmannigfaltigkeit besitzt und sonst nirgendwo verschwindet. Jede ganze Funktion \(P(w, z)\), für die \(\int\dfrac{P}{F_w} dz\) erster Gattung ist, heißt zu \(C\) adjungiert. Ist \(Q\) eine beliebige Adjungierte, so gibt es zu jeder auf \(C\) regulären und eindeutigen Funktion \(\varphi\) eine zweite Adjungierte \(P\), sodaß überall auf \(C\) \(\varphi = \dfrac{P}{Q}\) ist.
Für die Integrale zweiter Gattung, die also auf \(C\) nicht überall endlich sind, läßt sich noch stets eine gleichmäßig konvergente Reihenentwicklung angeben.
\(C\) werde durch \(w = w(s)\), \(z = z(s)\) uniformisiert. Ist die Fläche einfach zusammenhängend, so wird sie dadurch eineindeutig auf den Einheitskreis oder die punktierte Ebene abgebildet. Dann ist \(s\), als Funktion von \(z\) betrachtet, auf \(C\) eindeutig und regulär. Also gilt \(s = \dfrac{P}{Q}\) wo \(P\) und \(Q\) Adjungierte zu \(C\) sind. Im allgemeinen Falle wird die universelle Überlagerungsfläche von \(C\) auf die punktierte Ebene oder den Kreis abgebildet. Dann ist im ersten Falle \(\dfrac{ds}{dz}=\dfrac{P}{Q}\) im zweiten Falle gilt \[ \dfrac{s''}{s'} - \dfrac32\dfrac{s''^2}{s'^2} = R(w, z), \] wo \(R\) eine im ganzen endlichen Raum meromorphe Funktion ist.
Den eineindeutigen analytischen Abbildungen der betrachteten Flächen auf sich selbst und untereinander entsprechen bimeromorphe Funktionen im \((w, z)\)-Raum, in Analogie zu den birationalen Funktionen im Falle der algebraischen Flächen. (IV 6 E.)

Citations:

JFM 56.0981.*
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