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Über die Ränderzuordnung bei konformen Abbildungen. (German) JFM 57.0398.01
Es werden hauptsächlich die Randwerte der Ableitungen der im Einheitskreise schlichten Funktionen untersucht, wenn über den Bildbereich gewisse spezielle Voraussetzungen gemacht werden, nämlich zunächst, daß er von einer rektifizierbaren Kurve begrenzt, daß er ein Stern- oder ein konvexer Bereich sei. Ferner wird gezeigt, daß sich auf einen Bereich, der von einer Kurve beschränkter Krümmung berandet wird, ein Carathéodorysches Kriterium für die Konformität der Abbildung am Rande (1929; JFM 55.0209.*) anwenden läßt, was zu Aussagen über die Randwerte der ersten und zweiten Ableitung führt. Es folgen noch gewisse Verallgemeinerungen für die höheren Ableitungen. Zum Schluß werden Beispiele gebracht, denen zufolge es unwahrscheinlich erscheint, daß die Menge vom Maße Null, die in der Behauptung von der Existenz der Randwerte stets ausgenommen ist, durch eine minder allgemeine ersetzt werden könne.

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References:
[1] Inauguraldissertation der philosophischen Fakultät Sektion II der Ludwig-Maximilians-Universität München.
[2] W. F. Osgood, Trans. of the Amer. Math. Soc.1 (1900), S. 310-314. · JFM 31.0420.01
[3] C. Carathéodory, Math. Annalen72 (1912). S. 107-144. · doi:10.1007/BF01456892
[4] P. Koebe, Journal f. Math.145 (1915), S. 177-223.
[5] L. Bieberbach, Konforme Abbildung, S. 94-108.
[6] P. Fatou, Acta Math.30 (1906), S. 366-368. · JFM 37.0283.01 · doi:10.1007/BF02418579
[7] W. F. Osgood und E. H. Taylor, Trans. of the Amer. Math. Soc.14, Nr. 2. S. 277-298, April 1913.
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[9] C. Carathéodory, Schwarz-Festschrift, Berlin 1914, S. 38-41.
[10] C. Carathéodory, Berl. Sitzungsber. 1929, S. 15-16. Einige Ergebnisse derletz-teren Arbeit finden sich bereits bei J. Wolff, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris183 (1926), S. 500-502.
[11] P. Painleve, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris112 (1891), S. 653-657.
[12] L. Lichtenstein, Arch. d. Math. u. Phys.25 (1917), S. 179.
[13] Lavrentieff, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris184 (1927), S. 1407, · JFM 53.0282.02
[14] M. und F. Riesz, Ber. des 4. skand. Mathematikerkongresses zu Stockholm 1916, S. 27-44.
[15] N. Lusin und J. Priwaloff, Annales de l’École Normale Sup.42 (1925), S. 156 bis 159. Dort findet man auch weitere Literaturangaben.
[16] P. Fatou,loc. cit.. · JFM 37.0283.01 · doi:10.1007/BF02418579
[17] Der Ausdruck ?Wege, die den Kreis nicht berühren? ist so zu verstehen: Wir ziehen nur solche Annäherungswege an den Punktz=e i? in Betracht, die im Innern eines Winkels liegen, dessen Spitze mit dem Punktez=e i? zusammenfällt und dessen Schenkel im Innern von |z|<1 liegen.
[18] Der hier angegebene Beweis stammt von C. Carathéodory,loc. cit.. · JFM 44.0757.01 · doi:10.1007/BF01456720
[19] Z. B. bei C. Carathéodory,loc. cit.. oder L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Band II, S. 148-150. · JFM 44.0757.01 · doi:10.1007/BF01456720
[20] Dieser Satz lautet folgendermaßen:Wenn f (z) in einem Winkelraum beschränkt ist und bei Annäherung an seine Ecke (z. B. längs einer Geraden) einem endlichen Grenzwert zustrebt, so strebt f (z) gleichmäßig gegen diesen Grenzwert, in jedem Teilwinkelraum. Der Satz befindet sich bei E. Lindelöf, Acta Soc. s. Fennicae46 (1915), Nr. 4.
[21] M. und F. Riesz. loc. cit. Ber. des 4. skand. Mathematikerkongresses zu Stockholm 1916, S. 27-44.
[22] A. Pleßner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen, Dissertation Gießen 1923, S. 16, Satz 5.
[23] E. Helly, Sitzungsber. der Wiener Akademie121 (1912), S. 265-297.
[24] Die erste Integraldarstellung von analytischen Funktionen mit einem positiven reellen Teil ist von G. Herglotz gegeben worden in den Berichten über die Verhandlungen der Kgl. Sächs. Ges. d. Wiss. zu Leipzig, Math.-Phys. Kl.63 (1911), S. 508.
[25] C. Carathéodory, Schwarz-Festschrift, Berlin 1914, S. 29-30.
[26] loc. cit. Ber. des 4. skand. Mathematikerkongresses zu Stockholm 1916, S. 184.
[27] Der Beweis des Satzes stammt von P. Csillag, Math. és. phys. lapok26 (1917), S. 74-80.
[28] G. H. Hardy, Proc. Lond. Math. Soc. (2)14 (1915), S. 269-277.
[29] A. Pringsheim, Münch. Sitzungsber.30 (1900), S. 87.
[30] Diese Definition ist mir von Herrn Bochner freundlichst vorgeschlagen worden.
[31] Ein Streckenzug ist eine aus endlich vielen geradlinigen Strecken zusammengesetzte Kurve.
[32] Sogar mehrfach zu zählende Seiten sind in der Definition zugelassen.
[33] Der Ausdruck ?Niveaukurve des Gebietes? ist hier sowie im folgenden so zu verstehen: Man bilde das Gebiet konform auf einen Kreis |z|<1 ab. Die Bildkurven der konzentrischen Kreise |z|=r<1 bei dieser Abbildung heißen die Niveaukurven des Gebietes.
[34] C. Carathéodory,loc. cit. 3), S. 126.
[35] Diese Kurve kann auch mehrfach zu zählende Punkte enthalten.
[36] Daß wir hier den Nullpunkt bevorzugt haben, ist eine ganz unwesentliche Vereinfachung.
[37] T. Radó, Math. Annalen102 (1930), S. 428-429.Der Beweis wird dort für konvexe Gebiete ausgeführt, ist aber dem hier angegebenen ganz analog. · JFM 55.0208.02 · doi:10.1007/BF01782353
[38] E. Study, Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Bereiche, Leipzig, Teubner 1912. Ein sehr einfacher und eleganter Beweis des Satzes findet sich in der in Anm. 37) erwähnten Arbeit von T. Radó.
[39] Die leichte Rechnung, die zu dieser Formel führt, findet man z. B. bei G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I, 3. Kap., Aufg. 106, S. 105.
[40] Es kann sogar gezeigt werden, daß der Kreis vom Radius 1 der größte Kreis ist, der die im Satze 15 angegebene Eigenschaft besitzen wird. Die Aufsuchung des größten Kreises ist aber für unsere Zwecke belanglos.
[41] C. Carathéodory, loc. cit. 10) Berl. Sitzungsber. 1929, S. 5-9.
[42] Eine summierbare Funktion heißt von der KlasseL p , wenn diep-te Potenz des absoluten Betrages der Funktion nach Lebesgue integrierbar ist.
[43] Diese Schlußweise findet man bei E. W. Hobson,The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier’s series, Bd. II, S. 639-640.
[44] M. Riesz, Math. Zeitschr.27 (1928), S. 224-226. · JFM 53.0259.02 · doi:10.1007/BF01171098
[45] P. Fatou,loc. cit. 6), S. 384. · JFM 37.0283.01 · doi:10.1007/BF02418579
[46] C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen (1927), S. 556.
[47] loc. cit. 44), S. 224. · JFM 53.0259.02 · doi:10.1007/BF01171098
[48] loc. cit. Anm. 44), S. 224
[49] Eine derartige funktion findet man bei C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Kap. III, § 156.
[50] Ich verdanke diese Formel einer mündlichen Mitteilung von Herrn Professor Carathéodory.
[51] C. Carathéodory, Berl. Sitzungsber. 1920. S. 560-562. Vgl. auch Anm. 24) Sächs. Ges. d. Wiss. zu Leipzig, Math.-phys. Kl.63 (1911), S. 191.
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