Hypergeometric orthogonal systems of polynomials. (English) JFM 57.0413.01

Truksa, L.

Aktuárské Vědy 2; 65-84, 113-144, 177-203 (1931).

Verf. betrachtet ein System von Polynomen \[ \begin{aligned} &I_{\lambda} (n,m,x) = \\ &\dfrac{1}{2^\lambda}\sum _{k=0}^\lambda (-1)^\lambda \dfrac{(1, \lambda)}{(1,\lambda-k)}\dfrac{(n+m+\lambda +1, k)}{(n+1,k)} \omega ^k \begin{pmatrix} \dfrac{s-1}{2}+\dfrac{x}{\omega}\\ k \end{pmatrix} \biggl((s-\lambda )\omega, \dfrac{\lambda-k}{\omega}\biggr), \end{aligned} \] wobei \[ (i, k) = i(i + 1) \ldots (i+k- 1), \] die die Orthogonalitätsbedingung \[ \sum _{-\alpha}^{+\alpha} I_{\lambda} I_\mu \varPhi_0 \omega =0\quad (\lambda \neq \mu) \] mit \[ \alpha =\dfrac{s-1}{2}\omega \] und \[ \varPhi_0(n, m, x)=\dfrac{\varGamma \biggl( \dfrac{s+1}{2}+n+\dfrac{x}{\omega}\biggr)\varGamma \biggl(\dfrac{s+1}{2}+m-\dfrac{x}{\omega}\biggr)} {\varGamma (n+1)\varGamma \biggl( \dfrac{s+1}{2}+\dfrac{x}{\omega}\biggr )\varGamma (m+1)\varGamma \biggl(\dfrac{s+1}{2} -\dfrac{x}{\omega}\biggr)}: \omega \dfrac{\varGamma (n+m+s+1)}{\varGamma (n+m+2)\varGamma (s)} \] erfüllen. Er zeigt durch etwas umständliche, aber elementare Rechnungen, daß die \(I_\lambda\) Spezialfälle der hypergeometrischen Reihe dritter Ordnung sind und einer Differenzengleichung der Gestalt \[ (ax^2 + bx\omega + c\omega^2) \underset{\omega}{\varDelta}^2 y + (dx + e\omega) \underset{\omega}{\varDelta} + fy = 0 \] genügen. Die Polynome verhalten sich im übrigen wie die sonst meist betrachteten Polynomsysteme, die durch eine Integral-Orthogonalitätsbedingung gekennzeichnet sind (dreigliedrige Rekursionsformel, Realität der Nullstellen, Anwendbarkeit bei der “mechanischen Summation”), und lassen sich durch geeignete Grenzübergänge (\(s\to\infty\), \(\omega \to 0\)) in die Jacobischen und die damit zusammenhängenden Polynome überführen.
Verf. untersucht außerdem noch kurz die Funktion \(\varPhi _0(n, m, x)\) sowie ihre Grenzwerte und zeigt ihren Zusammenhang mit der Pearsonschen Verteilungsfunktion sowie ihre Bedeutung für die Approximation einer empirischen Verteilungsfunktion. (IV 6 B, 16.)

Reviewer: Hahn, Wolfgang, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen. Die \(\varGamma\)-Funktion und verwandte Funktionen.