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Some properties of fractional integrals. II. (English) JFM 57.0476.01
Die Untersuchungen des ersten Teils der Abhandlung (1928; F. d. M. 54, 275 (JFM 54.0275.*)) werden jetzt auf komplexe analytische Funktionen übertragen. Die Funktion \[ f(z) = \sum_{0}^{\infty} a_n z^n \] sei für \(|z|<1\) regulär. Ihre “gebrochenen Integrale” werden (nach Hadamard) durch die Entwicklung \[ f_{\alpha}(z) = \sum \frac{\varGamma(n+1)}{\varGamma(n+1+\alpha)} a_n z^{n+\alpha} \] eingeführt; wenn \(\alpha < 0\) ist, heißen sie besser “gebrochene Ableitungen”: \[ f^{(\beta)}(z) = f_{- \beta}(z) \quad (\beta > 0). \] Es handelt sich wieder im wesentlichen darum, wenn \(f(z)\) gewissen Funktionsklassen angehört, die \(f_{\alpha}\) und \(f^{(\beta)}\) auf analoge Eigenschaften zu untersuchen. Insbesondere handelt es sich um die komplexe Lebesguesche Klasse \(L^p\), \(p > 0\), derjenigen \(f(z)\), bei denen die Integralmittel \[ M_p(f) = M_p(r,f) = \left( \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} |f(re^{i \vartheta})|^p \, d \vartheta \right)^{\frac{1}{p}} \] für \(r<1\) beschränkt bleiben. Aus der Fülle von diesbezüglichen Sätzen seien die beiden folgenden herausgehoben, die wohl als Hauptergebnisse anzusehen sind:
I. (Theorem 33, 38.) Es sei \(p > 0\), \(a \geqq 0\), \(0 < \alpha < \dfrac{1}{p}\), \(q=\dfrac{p}{1-p \alpha}\) und \[ M_p(f) \leqq C (1-r)^{-a}. \] Dann ist \[ M_q(f_{\alpha}) \leqq K(p,a,\alpha) \cdot C (1-r)^{-a}. \] Man beachte den Fall \(a=0\), der die Klasse \(L^p\) behandelt. Man hat hier die Verallgemeinerung des Theorems (4) aus Teil I über die reelle Klasse \(L^p\) vor sich; jedoch war dort \(p>1\) vorauszusetzen.
II. (Theorem 47.) Es sei \(0<p \leqq q\), \(a>0\), \(\beta>-a - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}\) oder \(0<p \leqq q\), \(a = 0\), \(\beta \geqq - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}\) und \[ M_p(f) \leqq C (1-r)^{-a}. \] Dann gilt \[ M_q(f^{(\beta)}) \leqq K(p,q,a,\beta) \, C (1-r)^{-a-\beta-\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}. \] Für \(a = 0\) und \(\beta > -\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\) ist sogar \[ M_q(f^{(\beta)}) = o\left( (1-r)^{-\beta-\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} \right). \] Die sehr reichhaltige Arbeit bringt weiterhin entsprechende Sätze für die \(f(z)\) aus gewissen “Lipschitz-Klassen” und endlich auch für harmonische Funktionen \(u(r,\vartheta)\). (IV 3 C, 13.)

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