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On separation, comparison and oscillation theorems for self-adjoint systems of linear second order differential equations. (English) JFM 57.0528.01
Verf. übertragen die bekannten Resultate der Sturm-Liouvilleschen Theorie auf selbstadjungierte Systeme von Differentialgleichungen. Man gehe aus von der quadratischen Form \[ 2 \Omega (x,y,y') = P_{ik}(x)y_iy_k + 2Q_{ik}(x)y_iy_k' + R_{ik}(x)y_i'y_k', \] wobei \(P_{ik}, Q_{ik}, R_{ik}\) für \(x_1\leqq x\leqq x_2\) stetige erste Ableitungen haben, \(P_{ik} = P_{ki}\), \(R_{ik} = R_{ki}\) ist und \(R_{ik}v_iv_k >0\) für \(v_iv_i>0\) in \(x_1\leqq x\leqq x_2\) gilt. Dann wird das selbstadjungierte System zweiter Ordnung \[ I_i(y) = \dfrac{d}{dx}\Omega_{y_i'} - \Omega_{y_i} = 0 \qquad (i=1,2,\ldots,n) \tag{1} \] betrachtet. Unter \(y_i(x)\) (\(i = 1,2,\ldots, n\)) sei ein mit stetigen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung versehenes Lösungssystem von (1) verstanden, bei dem nicht alle \(y_i\) identisch verschwinden. Es wird gezeigt, daß es zu jedem \(\xi\), für welches \(y_i(\xi) = 0\) (\(i = 1, 2,\ldots, n\)) gilt, einen “nächsten” Punkt \(\xi'\) gibt, so daß \(y_i(\xi') = 0\) (\(i = 1, 2,\ldots, n\)) ist, falls \(y_i(x)\) überhaupt noch einmal in \(x_1\leqq x\leqq x_2\) verschwindet, \(\xi'\) heißt zu \(\xi\) konjugiert. Daraus wird gefolgert, daß jeder Punkt eindeutig ein System von konjugierten Punkten \(\xi_1<\xi_2<\cdots<\xi_k\) bestimmt, so daß jeder zum vorangehenden (nachfolgenden) konjugiert und \(\xi_1\) der erste, \(\xi_k\) der letzte im Intervall \(x_1\leqq x\leqq x_2\) ist. Dann gilt der Satz: Zwei Systeme von konjugierten Punkten, die nicht zusammenfallen, trennen sich; d. h. zwischen zwei Punkten des ersten Systems liegt genau einer des zweiten. Sei neben (1) noch ein zweites mit der Form \[ \Omega^* = P_{ik}^*y_iy_k + 2Q_{ik}^*y_iy_k' + R_{ik}^*y_i'y_k' \] analog gebildetes System von Differentialgleichungen gegeben, und gelte dabei \[ \Omega (x,u,v)\leqq\Omega^*(x,u,v) \tag{2} \] für \(x_1\leqq x\leqq x_2\) und alle Werte \(u_i,v_i\), sind ferner \[ \xi_{-l},\ldots,\xi_{-1},\xi,\xi_1,\ldots,\xi_k \;\text{ bzw. } \xi_{-l^*}^*,\ldots,\xi_{-1}^*,\xi,\xi_1^*,\ldots,\xi_{k^*}^* \] die zu \(\xi\) gehörigen konjugierten Systeme, so ist \(k + l + 1\leqq k^* + l^* + 1\) und \[ \xi_\alpha\leqq\xi_\alpha^*, \;\xi_{-\beta}\geqq\xi_{-\beta}^*. \tag{3} \] Steht in (2) kein Gleichheitszeichen, so auch nicht in (3).
Das Oszillationstheorem kann wie folgt formuliert werden: \(A_{ik}(x, \lambda )\) seien für \(x_1\leqq x\leqq x_2\), \(\lambda\geqq\lambda_0\) stetig, und für \(u_iu_i > 0\), \(\lambda'' > \lambda' > \lambda_0\) gelte \[ A_{ik}(x,\lambda'')u_iu_k > A_{ik}(x,\lambda')u_iu_k; \] ferner gehe \(A_{ik}u_iu_k\) für \(u_iu_i = 1\) mit \(\lambda\) gegen \(\infty\). Für \(\lambda = \lambda_0\) enthalte das Intervall \(x_1\leqq x\leqq x_2\) keinen konjugierten Punkt von \[ \dfrac{d}{dx}\Omega y_i' - \Omega y_i + A_{ik}(x,\lambda )y_k = 0 \qquad (i=1,2,\ldots,n). \tag{4} \] Dann gibt es unendlich viele Eigenwerte \(\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \ldots\) mit \(\lim\limits_{m\to\infty}\lambda_m = \infty\) von (4) mit der Eigenschaft: Zu \(\lambda_m\) \((m = 1, 2, 3,\ldots)\) gibt es ein System von genau \(m + 1\) konjugierten Punkten von (4), deren erster \(x_1\) und deren letzter \(x_2\) ist. Ist insbesondere \[ A_{ki}(x,\lambda ) = \lambda A_{ki}(x), \] so ist \(\sum\limits_{m=1}^\infty\lambda_m^{-\alpha}\) für \(\alpha > \tfrac{1}{2}\) konvergent, für \(\alpha\leqq\tfrac{1}{2}\) divergent. Die Aussage geht über das Resultat von Hickson (1929; JFM 55.0898.*) hinaus, der nur die Existenz der Eigenwerte zeigt. Die Beweismethoden beruhen in den Hauptzügen auf den klassischen Gedankengängen der Sturm-Liouvilleschen Theorie über das stetige Rücken der Nullstellen.

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 10. Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.
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