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Sur l’application d’équations intégro-différentielles à l’étude des singularités de certains champs scalaires et sur divers problèmes linéaires propices à l’étude de la causalité topologique. (French) JFM 57.0561.03

Es handelt sich in erster Linie um Kriterien zur Unterscheidung der isolierten Singularitäten von Potential- und verwandten Funktionen. Als Hilfsmittel dient die Entwicklung nach geeigneten Orthogonalsystemen. Das allgemeine Prinzip (Kap. II) ist folgendes: Es sei \(K\) ein beschränktes \(n\)-dimensionales Kontinuum, in welchem eine Riemannsche Metrik und (mit deren Hilfe) der Begriff des bestimmten Integrals erklärt ist. Ferner sei \(\{Y_{\nu}(P)\}\) ein normiertes Orthogonalsystem bezüglich \(K\) und \[ F(P; u) = \sum_{\nu=0}^\infty (c_\nu f_\nu(u) + d_\nu g_\nu(u)) Y_\nu(P) \] gleichmäßig konvergent, wobei \(P\) alle Punkte aus \(K\) durchläuft und der Parameter \(u\) eine nach oben nicht beschränkte Menge reeller Zahlen. Verf. betrachtet die Gesamtheit der \(F (P; u)\) mit festen \(f_\nu\) und \(g_{\nu}\) von folgenden Eigenschaften: (\(a\)) Die \(f_\nu(u)\) sind gleichmäßig beschränkt; (b) die \(g_\nu (u)\) sowie (c) die Quotienten \(g_{\nu+1}(u) : g_\nu(u)\) wachsen unbeschränkt mit \(u\to\infty\). Sind dann in der Reihenentwicklung für ein \(F(P; u)\) nur endlich viele der \(d_\nu\), etwa für \(\nu\leqq n\), von Null verschieden, so sagt man: \(F (P; u)\) besitze an der Stelle \(u = \infty\) einen Pol \((n+1)\)-ter Ordnung, andernfalls eine wesentliche Singularität. Bezeichnet man mit \(M(u) >0\) die obere Grenze von \(|F (P; u)|\) in \(K\) (bei festem \(u\)), so gilt:
Satz A. Es besitzt \(F (P; u)\) in \(u=\infty\) einen Pol dann (und nur dann), wenn die \(\dfrac{F(P,u)}{M(u)}\), als Funktionen von \(P\) betrachtet, gleichgradig stetig sind.
Satz B. Setzt man noch voraus, daß \(Y_0(P)\) eine positive untere Schranke besitzt, so hat man für \(F(P; u)\) einen Pol dann und nur dann, wenn für einen Index \(N\) gilt: \[ F (P, u)< K g_N(u) \;\text{ oder } \;- K g_N(u) < F (P; u), \] unter \(K\) eine (geeignete) positive Zahl verstanden. – Insbesondere folgt also aus \(F (P; u) >0\), daß \(F\) einen Pol und zwar höchstens erster Ordnung besitzt (Verallgemeinerung des Prinzips von Picard betreffend positive Singularitäten für Potentialfunktionen). – Spezielle Fälle ergeben sich (Kap. I) für den Fall einer Potentialfunktion \(\left(K = \operatorname{Einheitskugel}, u=\dfrac1r\right)\). Man verwendet Entwicklungen nach Kugelfunktionen \(Y_\nu(P)\), wobei dann \[ f_\nu=r^\nu, \;g_\nu=r^{-\nu-1}. \] Verf. gewinnt diese Entwicklung ausgehend von der für Potentialfunktionen \(F\) geltenden Integrodifferentialgleichung \[ 2\pi V(P;\varrho)=\iint\limits_K \frac{\partial^2 V(P,\varrho)}{\partial \varrho^2} G_0(P;R)d\varrho_R, \] wobei \(G_0 (P; R)\) die Greensche Funktion bezüglich der Einheitskugel für die Potentialgleichung bedeutet und \[ V = F (P; r^{-1})\sqrt{r}\qquad (r = e^{-\varrho}) \] ist (vgl. dazu auch die Arbeit desselben Verf. “Solutions de \(\varDelta U=\lambda(r)U\) à singularité isolée essentielle à l’origine”, Bulletin Acad. Polonaise 1933, 11-17; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1139). Eine entsprechende Integrodifferentialgleichung bzw. Entwicklung nach Kugelfunktionen ergibt sich (Kap. III) für die Lösungen von \(\varDelta v = \lambda(r)v\). Die \(f_\nu\) und \(g_\nu\) werden dann mit Hilfe von Lösungen einer gewöhnlichen linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung gewonnen. Die Bedingungen (a), (b), (c) der allgemeinen Theorie sind für \[ \lim_{r\to\infty} r^2\lambda(r) >- \tfrac14 \] erfüllt. – Analoges gilt (Kap. IV) für das Verhalten im Unendlichen derjenigen Lösungen von \(\varDelta v = v f (z)\), welche in einem oberhalb der Ebene \(z = z_0\) gelegenen und auf \(z = z_0\) senkrecht stehenden Zylinder regulär und auf der Zylinderoberfläche Null sind (oder auch dort eine verschwindende Normalableitung besitzen); hier ist eine gewisse Modifikation des Beweises von Satz B nötig, da \(Y_0\)(P) die untere Grenze Null besitzt. Entsprechendes gilt (Kap. V) für den Fall eines Kegels bezüglich des Verhaltens der Lösungen von \(\varDelta v = \lambda v\) in der Nähe der Kegelspitze. Nunmehr folgen (Kap. VI) Betrachtungen über das Picardsche Prinzip im Großen und seine Verallgemeinerungen: Im vorangehenden handelte es sich nämlich – allgemein zu reden – stets um das Verhalten von Lösungen gewisser partieller Differentialgleichungen in der Umgebung eines Punktes, welcher Häufungspunkt von Regularitätspunkten der betrachteten Lösung war. Jetzt sollen Aussagen bezüglich ganzer vorgegebener Regularitätsgebiete gewonnen werden. Beispiel: Es sei \(G\) das Komplement endlich vieler, paarweise fremder, beschränkter abgeschlossener Körper \(K_{\nu}\) (\(\nu=1,\ldots, n\)). Das Dirichletsche Problem sei für \(G\) lösbar; d. h. es existiere eine Lösung \(v\) von \(\varDelta v = 0\), welche auf der Begrenzung der \(K_\nu\) vorgegebene Werte annimmt. Weiß man überdies, daß außerhalb einer hinreichend großen Kugel \(v >-Kr^{\alpha-1}\) ist, so besitzt \(v\) im Unendlichen einen Pol von höchstens der Ordnung \(\alpha\), und es hängt \(v\) von nur endlich vielen Parametern ab; deren Anzahl ist übrigens Eins, falls \(K = 0\). Sind speziell die Randwerte Null, so ist \(v\) bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. In diesem Zusammenhange wird dann noch (Nr. 36) festgestellt, daß die in Kap. V gewonnenen Sätze nicht mehr zu gelten brauchen, sobald die Querschnitte der dort betrachteten Zylinder nicht beschränkt sind. Anschließend wird gezeigt: Es sei \(U_0\) eine im Endlichen überall reguläre positive Lösung von \[ L(v)=v_{yy}^{\prime\prime}+ v_{zz}^{\prime\prime}-v=0. \] Es sei \(w\) ein offener Winkelraum mit dem Scheitel 0; ferner sei \(v_R\) eine Lösung von \(L (v) = 0\), die im Kreise \(K_R\) vom Radius \(R\) um 0 regulär ist und auf dem in \(w\) gelegenen Bogen der Peripherie von \(K_R\) die gleichen Werte annimmt wie \(U_0\), auf dem Reste der Peripherie hingegen Null ist. Dann existiert der Limes der Werte von \(v_R\) in 0 für \(r\to\infty\) (vgl. dazu die nachstehend besprochene Arbeit des Verf.). Bezüglich eines weiteren Problems vgl. die Arbeit des Verf. “Démonstration élémentaire d’un théorème de détermination à un facteur constant près d’une fonction harmonique”, Mathematica 6 (1932), 80-85 (F. d. M. 58). Den Schluß (Kap. VII) bildet die Besprechung der parallelen Ergebnisse bei Differenzengleichungen, mit andern Worten bei Systemen linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Man betrachte in der \((x,y)\)-Ebene das Gitter der Punkte \(x=k\), \(y=n\) (\(k,n= 0,\pm 1, \pm 2,\ldots\)) und bezeichne als “Halbstreifen” die Menge der z. B. den Ungleichungen \(k_1\leqq x\leqq k_2\), \(n_1\leqq y\) genügenden Gitterpunkte. Man konstruiere eine Figur \(F\), welche gebildet ist aus \(l\) Halbstreifen, die keine “inneren” Gitterpunkte gemeinsam haben und (nötigenfalls) untereinander durch Hinzunahme von endlich vielen “Rechtecken”: \(k'\leqq x\leqq k''\), \(n'\leqq y\leqq n''\) “verbunden” sind. Eine einschlägige Aufgabe besteht in der Bestimmung von Funktionen, welche lediglich in den zu \(F\) gehörigen Gitterpunkten definiert sind, in den “Randpunkten” von \(F\) verschwinden, und deren Wert in einem inneren Gitterpunkt von \(F\) nichtnegativ und gleich ist dem arithmetischen Mittel der Werte in vier benachbarten Gitterpunkten. Die gesuchten Lösungen besitzen dann eine \(l\)-gliedrige Linearbasis. Auch hier spiegelt sich wieder die topologische Struktur des Grundgebietes in der Länge der Linearbasis. (IV 11.)

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