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Étude de l’équation de la chaleur \(\varDelta u = c (M) u (M)\), \(c(M)\geqq 0\), au voisinage d’un point singulier du coefficient. (French) JFM 57.0564.04
Ist \(O\) die (isolierte) Singularität des sonst stetigen \(c\), so werden zunächst die um \(O\) beschränkten Integrale studiert; die Existenz eines Mittelwertes in \(O\) wird bewiesen und die Äquivalenz des Problems mit der zugehörigen Fredholmschen Integralgleichung gezeigt. Ist ein Integral \(u\) nur nach einer Richtung beschränkt, so hat es die Gestalt \(\dfrac{\varphi(M)}{2\pi}\log\dfrac1{OM}\). \(O\) ist endlicher oder unendlicher Quellpunkt, falls \(\varphi\) einen endlichen oder unendlichen Mittelwert hat.
Definition eines Quellpunktes \(O\): Es gibt ein nach einer Richtung beschränktes Integral \(u\) und eine Folge von Kreisen \(\gamma_n\), die sich auf \(O\) zusammenziehen, so daß \(\int\limits_{\gamma_n}\dfrac{du}{dn}ds\) gegen einen endlichen oder unendlichen Wert geht. Die Ausdehnung auf \(m\) Dimensionen macht keine Schwierigkeiten.

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