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On the derivatives of harmonic functions on the boundary. (English) JFM 57.0569.01
Über die Existenz und das Verhalten der Grenzwerte am Rande von Ableitungen harmonischer Funktionen, die in einem geschlossenen dreidimensionalen Gebiet \(R\) durch ihre Werte am Rande \(S\) definiert sind, liegen bisher nur wenige Untersuchungen vor. Die früheren Arbeiten, die das Verhalten dieser Grenzwerte studieren, setzen die harmonische Funktion meistens als Potential einer Doppelschicht in einer Neumannschen Reihe an. Das bedeutet für die Untersuchung der durch ihre Randwerte bestimmten harmonischen Funktionen einen gewissen Umweg, da die Randbedingungen erst in Bedingungen über das Moment der Doppelbelegung übersetzt werden müssen. In der vorliegenden Abhandlung stützt Verf. seine Untersuchungen auf das Poissonsche Integral, angewandt auf eine kleine, den Rand von innen berührende Kugel. Zu diesem Zwecke beweist er zunächst einen Satz über die in einem Kreise vom Radius \(a\) durch ein Poissonschen Integral mit den beschränkten integrierbaren Randwerten \(U (a, \varPhi, \theta)\) gegebene harmonische Funktion: Wenn die Mittelwerte \[ f(\theta) =\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|U(a,\varPhi,\theta|d\varPhi \] einer Dini-Bedingung genügen, daß nämlich \[ \int\limits_0^\eta\frac{f(\theta)d\theta}{\theta^{n+1}}\qquad (0<\eta \tag{1} \] konvergent ist, so konvergiert jede \(n\)-te Ableitung von \(U\), genommen in einem Punkte \(P\) der Polarachse, gegen einen Grenzwert, wenn \(P\) der Oberfläche der Kugel längs dieser Achse zustrebt. Ein Vorteil dieser Methode liegt in ihrem lokalen Charakter, der es erlaubt, die Verhältnisse der Randwerte auf irgend einem Teile der Randfläche \(S\) zu untersuchen, ohne den übrigen Teil berücksichtigen zu müssen. Ist \(E\) ein solcher Teil von \(S\), ein “reguläres Element”, mit beschränkten Krümmungen und einer Darstellung \(z= \varphi(x,y)\), wo \(\varphi\) stetige \(n\)-te Ableitungen hat, die einer Dini-Bedingung genügen, und läßt sich an jeden Punkt von \(E\) eine den Rand von innen berührende Kugel legen, die sonst keinen Punkt mehr mit dem Rand gemeinsam hat, so läßt sich daraus, daß die Randwerte von \(U\) auf \(E\) stetige \(n\)-te Ableitungen haben, die einer Dini-Bedingung genügen, schließen, daß es zu jedem Punkt von \(E\) eine von innen berührende Kugel gibt, in der die Bedingung (1) erfüllt ist. Damit ist der Hauptsatz dieser Arbeit bewiesen, daß unter den eben aufgezählten Voraussetzungen jede Ableitung \(n\)-ter Ordnung auf einer Normalen in einem Punkt \(p\) von \(E\) einem Grenzwert zustrebt, wenn man sich auf dieser Normalen \(p\) nähert. Dabei bedingen Hölder-Bedingungen für die Werte von \(U\) oder dessen Ableitungen auf E Hölder-Bedingungen für \(U\) oder die entsprechenden Ableitungen in \(R\) in der Nachbarschaft von \(E\).
Für den Fall der Ableitungen erster Ordnung verlangt die in der vorliegenden Abhandlung angewandte Methode mehr, als zum Beweis der Sätze notwendig ist, wegen der gemachten Einschränkungen über die zulässigen “regulären Flächenelemente”, und die Neumannsche Methode mag eventuell zu präziseren Resultaten führen. Im Falle der Ableitungen höherer Ordnung jedoch sind die gemachten Voraussetzungen von genügender Schärfe und die erhaltenen Resultate auch durchweg neu.

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