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Sur les fonctions harmoniques d’ordre \(p\). (French) JFM 57.0578.03
Eine Funktion \(u(x, y)\) heißt von \(p\)-ter Ordnung harmonisch, wenn sie der Differentialgleichung \[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right)^p u=0 \] genügt; die im gewöhnliehen Sinn harmonischen Funktionen sind also die von erster Ordnung. Verf. bildet die Mittelwerte \[ \begin{aligned} \mu_0(x,y,\varrho)&=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} u(x+\varrho\cos\vartheta,y+\varrho\sin\vartheta)d\vartheta,\\ \mu_k(x,y,\varrho)&=\frac2{\varrho^2}\int\limits_0^{\varrho} \mu_{k-1}(x,y,\varrho)\varrho d\varrho\qquad (k=1,2,3,\ldots) \end{aligned} \] und zeigt dann: Ist \(u(x,y)\) von \(p\)-ter Ordnung harmonisch, so ist \[ \left| \begin{matrix} \l \;& \l \;& \l \;& \l\\ 1 & 1 & \ldots & 1\\ 1^{-1} & 2^{-1} & \ldots & p^{-1}\\ 1^{-2} & 2^{-2} & \ldots & p^{-2}\\ \;\vdots & & & \\ 1^{1-p} & 2^{1-p} & \ldots & p^{1-p} \end{matrix} \right| u(x,y)= \left| \begin{matrix} \l \;& \l \;& \l \;& \l\\ \mu_0 & 1 & \ldots & 1\\ \mu_1 & 2^{-1} & \ldots & p^{-1}\\ \mu_2 & 2^{-2} & \ldots & p^{-2}\\ \;\vdots & & &\\ \mu_{p-1} & 2^{1-p} & \ldots & p^{1-p} \end{matrix}\right|. \] Umgekehrt: wenn diese Relation besteht und \(u\) summierbar ist, so ist \(u\) von \(p\)-ter Ordnung harmonisch.
Weiterhin werden bekannte Sätze über gleichgradige Stetigkeit und Konvergenz von Folgen harmonischer Funktionen erster Ordnung auf solche \(p\)-ter Ordnung ausgedehnt.
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Full Text: DOI Numdam EuDML