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Quelques remarques sur les chaînes de Markoff. (Czech. French summary) JFM 57.0612.03

Spisy Brno 1931, Nr. 131, 22 p (1931).
Die Größen \(x^{(0)}, x^{(1)}, x^{(2)},\ldots\) bilden eine Markoffsche Kette (zur Geschichte dieser Frage vgl. B. Hostinský, 1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 606-607) unter diesen Bedingungen: Sei \(x\) eine Größe, die einen der voneinander verschiedenen Werte \[ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r \tag{1} \] annehmen kann. \(x^{(0)}\) sei der Anfangswert von \(x\), also eine Zahl aus der Reihe (1). Weitere Werte \(x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots\) von \(x\) erhält man durch Versuche, und zwar, wenn man schon weiß, daß \(x^{(n)} =\alpha_i\) (\(n = 0, 1,\ldots\)) ist, so soll \(p_{ik}\) die Wahrscheinlichkeit bedeuten, daß \(x^{(n+1)} = \alpha_k\) (\(i, k = 1, 2, \ldots, r\)) ist. Es gilt \[ \sum_{k=1}^r p_{ik}=1\qquad (i=1,2,\ldots,r). \tag{2} \] Sei \(x^{(0)} =\alpha_i\) (\(i = 1, 2,\ldots, r\)). Bezeichnet man mit \[ P^{(n)}_{ik} \qquad (k=1,2,\ldots,r;\;n = 1,2,\ldots ) \] die Wahrscheinlichkeit, daß \(x^{(n)} =\alpha_k\) ist, dann gilt \[ P_{ik}^{(n+1)}=\sum_{h=1}^r P_{ih}^{(n)}p_{hk}, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (4)\quad P_{ik}^{(1)}=p_{ik}. \tag{3} \] Es wird eine Lösung des Systems von Differenzengleichungen (3) angegeben, die die Bedingungen (4) erfüllt. Hat die charakteristische Gleichung \[ F(t)=\text{Det} \, |p_{ik}-t\delta_{ik}|=0\qquad (\delta_{ik}=0 \;\text{für} \;i\neq k, \;\delta_{ii}=1) \tag{7} \] \(l\) voneinander verschiedene Wurzeln \(a_1, a_2,\ldots, a_l\) mit den Multiplizitäten \(m_1,m_2, \ldots, m_l\), dann ist \[ P^{(n)}_{ik}=\sum_{j=1}^l A_{ikj}(n)a_j^{n-1}, \] wo \(A_{ikj}(n)\) (\(i, k = 1, 2,\ldots, r\); \(j = 1, 2,\ldots, l\)) Polynome höchstens des Grades \(m_j-1\) bedeuten.
Endlich wird der Satz bewiesen: Hat die charakteristische Gleichung (7) nur 1 als Wurzel mit dem Absolutwert 1, so existieren die Grenzwerte \(\lim\limits_{n\to\infty} P^{(n)}_{ik}\) (\(i, k = 1,2,\ldots, r\)). Ist die Wurzel 1 einfach, so sind diese Grenzwerte unabhängig von \(i\). (III 2.)