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Note sur la théorie mathématique des assurances contre l’invalidité. (French) JFM 57.0656.04
Aktuárské Vědy 2, 10-36 (1929).
Im ersten Teil der Arbeit untersucht Verf. das Problem: Es sei \(l(x)\) die Anzahl aller Lebenden im Alter \(x, l^{aa}(x)\) die der Aktiven, \(p^{ai}(x)\) die Wahrscheinlichkeit eines Aktiven, invalid und zugleich \(x + 1\) Jahre alt zu werden, \(p^i(s, x)\) die Wahrscheinlichkeit eines \(s\)-jährigen Invaliden, das Alter \(s + 1\) und \(x\) zu erleben. Dann gilt: \[ l(x) = l^{aa}(x) + l^{ii}(x) = l^{aa}(x) + \sum\limits_{s=x_0}^{x-1}l^{aa}(s)p^{ai}(s)p^i(s+1,x). \] Die Berechnung der \(l(x)\) bietet keine grundsätzliche Schwierigkeit, wenn alle ändern Größen gegeben sind. Anders ist der Fall, wenn die \(l^{aa}(x)\) zu berechnen sind. Hier ergibt sich eine Rekursionsformel, die Verf. ableitet. Die analoge Aufgabe im kontinuierlichen Falle löst Verf. ebenfalls. – Falls Selektionstafeln vorliegen, ist die Lösung schwieriger, da sich hier eine Volterrasche Integralgleichung zweiter Art ergibt. Verf. gibt auch hierfür eine Lösungsmethode an.
Im zweiten Teil gibt Verf. das Verfahren zur Berechnung der \(l^{aa}(x)\) an, wie es seinerzeit für die tschechoslowakische Sozialversicherung durchgeführt worden ist. Die Aufgabe läuft im wesentlichen auf die Berechnung von Gleichungen der Form \[ \varphi_k(x) = \int\limits_{x_0}^xf_k(z)p^i(x,z)\,dz \] hinaus. Im Anhang wird das für den zweiten Teil erforderliche Zahlenmaterial mitgeteilt.