Vecteurs complexes et cercles orthogonaux à une sphère. Parataxie. (French) JFM 57.0769.01

Labrousse, A.

Journ. de Math. (9) 10, 307-334 (1931).

Ein Kreis, der eine fest vorgegebene Kugel \(S\) senkrecht schneidet, bestimmt eindeutig umkehrbar eine Gerade, seine Achse, die im Mittelpunkte des Kreises auf der Kreisebene senkrecht steht. Man kann daher die Kreise, die S senkrecht schneiden, auf die Geraden des Raumes abbilden. Dabei zeigt sich, daß zwei Kreise, die sich (in zwei gemeinsamen Punkten) senkrecht schneiden, auf zwei Geraden abgebildet werden, die sich im Sinne der auf die Kugel \(S\) bezogenen nichteuklidischen Geometrie senkrecht schneiden. Nun kann man (bekanntlich mittels des Studyschen Übertragungsprinzips) die Geraden des nichteuklidischen \(R_3\) auf “komplexe Vektoren” (Punkte einer komplexen Kegelschnittebene) abbilden. Dabei ist \(j^2=+1, -1\), je nachdem es sich um eine Kugel \(S\) mit rein imaginärem oder reellem Radius, also um elliptische oder hyperbolische Geometrie, handelt. Parataktischen Geraden der elliptischen Geometrie entsprechen “parataktische Kreise”. Von dieser Abbildung wird nun eine Anwendung gemacht. Die Konfiguration (\(10_3\), \(10_3\)) von Desargues liefert übertragen bekanntlich (E. Study, Geometrie der Dynamen (F. d. M. 33, 691 (JFM 33.0691.*)), S. 217) die Konfiguration von Petersen und Morley. Hier liefert die Übertragung analog eine Kreiskonfiguration, und zwar im Falle der hyperbolischen Geometrie zehn Kreise, von denen jeder drei andere senkrecht schneidet, im Falle der elliptischen Geometrie zwei Systeme von je zehn Kreisen derart, daß jeder Kreis des einen Systems drei des andern senkrecht schneidet (vgl. M. Gambier, 1930; JFM 56.0569.*-570). (V 1.)

Reviewer: Weiss, E. A., Prof. (Bonn)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 3. Elementargeometrie.

Citations:

JFM 33.0691.*; JFM 56.0569.*