Leçons sur la géométrie projective complexe. D’après des notes recueillies et rédigées par F. Marty. (French) JFM 57.0791.01

Cartan, E.

VIII + 326 p. 4 fig. Paris, Gauthier-Villars (Cahiers scientifiques fasc. 10) (1931).

Gegenstand des Buches, das aus Vorlesungen des Verf. an der Sorbonne hervorgegangen ist, ist der komplexe \(n\)-dimensionale projektive Raum \(\mathfrak R^n\), d. h. die Gesamtheit der Systeme von \(n+1\) komplexen, nicht sämtlich verschwindenden Zahlen \(x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}\), ein im Fréchetschen Sinne kompakter Raum. Die projektiven Abbildungen des reellen projektiven Raumes spalten sich hier in zwei Klassen, die Homographien \[ x_k'=\sum _{l=1}^n a_{kl} x_l \qquad (k=1,2,\ldots,n) \] und die Antihomographien \[ x_k'=\sum _{l=1}^n a_{kl} \bar x_l \qquad (k=1,2,\ldots,n); \] dabei sind die \(a_{kl}\), \(x_l\), \(x_k'\) komplex, die Determinante der \(a_{kl}\) von Null verschieden, und \(\bar x_l\) ist die konjugiert komplexe zu \(x_l\). Als Fundamentalsatz der projektiven Geometrie bezeichnet Verf. den Satz: Eine eineindeutige stetige Abbildung des \(\mathfrak R^n\) auf sich, die je vier in einer Ebene liegende Punkte in vier in einer Ebene liegende Punkte und je vier nicht in einer Ebene liegende Punkte in vier nicht in einer Ebene liegende Punkte überführt, ist eine Homographie oder eine Antihomographie. Der Beweis dieses Satzes sowie der Beweis des von Staudtschen Satzes, daß jede eineindeutige stetige Abbildung des \(\mathfrak R^1\) auf sich, die je vier harmonische Punkte in vier harmonische Punkte überführt, eine Homographie oder eine Antihomographie ist, bildet den Inhalt des Kap. I “Grundbegriffe” des ersten Teils des Buches, der “Die komplexe projektive Gerade” behandelt.
Kap. II bringt die nähere “Untersuchung der komplexen projektiven Geraden”; diese ist ja, vom Standpunkt reeller Veränderlichen aus, eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Verf. führt zunächst die Staudtsche “Kette” ein, d. h. den Ort aller Punkte, auf dem je vier Punkte ein reelles Doppelverhältnis haben, und beweist, daß jede Kette des \(\mathfrak R^1\) in der Gaußschen Ebene der komplexen Zahlen – Verf. nennt sie Cauchysche Ebene – durch einen Kreis oder eine Gerade dargestellt wird. Die Homographien und Antihomographien lassen sich also als Kreisverwandtschaften in der Gaußschen Ebene deuten. Von diesem Satz gilt (Darboux, Math. Ann. 17 (1880), 55-62; F. d. M. 12, 447 (JFM 12.0447.*)-449) auch die Umkehrung: Jede eineindeutige Abbildung des \(\mathfrak R^1\) auf sich, die je vier Punkte einer Kette in vier Punkte einer Kette und je vier nicht auf einer Kette liegende Punkte in vier nicht auf einer Kette liegende Punkte überführt, ist eine Homographie oder eine Antihomographie. Den weiteren Inhalt des Kapitels bildet die Einteilung der Homographien und Antihomographien des \(\mathfrak R^1\), wobei sich Verf. der inhomogenen Schreibweise bedient. Eine Homographie H mit zwei verschiedenen Fixpunkten \(\alpha \), \(\beta \) läßt die Darstellung \[ \frac {z'-\alpha }{z'-\beta } = k\,\frac {z-\alpha }{z-\beta } \] zu. Der Faktor \(k\) heißt “Multiplikator” der Homographie. Die Homographie \(H_1=THT^{-1}\) hat den Multiplikator \(k\) oder \(\bar k\), je nachdem \(T\) eine Homographie oder eine Antihomographie ist. \(H\) heißt hyperbolisch, wenn \(k\) reell und positiv, elliptisch wenn \(|k|=1\), und sonst loxodromisch; eine Homographie mit einem einzigen Fixpunkt schließlich heißt parabolisch. Jede Homographie kann als Produkt zweier involutorischer Homographien, d. h. elliptischer Homographien mit \(k=-1\), dargestellt werden. Jede nicht involutorische Antihomographie \(K\) besitzt entweder ein involutorisches Punktepaar (elliptischer Fall) oder zwei verschiedene Fixpunkte (hyperbolisch) oder einen einzigen Fixpunkt (parabolisch); das ergibt sich durch Heranziehung der Homographie \(K_2\). Die Antiinvolutionen, d. h. die involutorischen Antihomographien besitzen entweder unendlich viele Fixpunkte (erste Art) oder keinen Fixpunkt (zweite Art); jeder Antiinvomtion erster Art kann man genau zwei indefinite Hermitesche Formen mit der Determinante \(- 1\), jeder zweiter Art auf eineindeutige Weise eine positiv definite Hermitesche Form mit der Determinante \(+1\) zuordnen. Jede Involution (involutorische Homographie) ist das Produkt zweier vertauschbarer Antiinvolutionen erster Art.
Die “Antiinvolutionen erster Art” werden in Kap. III näher untersucht; sie hängen von drei reellen Parametern ab und bilden also eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, in der nun eine Maßbestimmung eingeführt wird. Aus zwei Antiinvolutionen \(C_0\), \(C_1\) erster Art bildet Verf. die Folge \[ C_2=C_1C_0C_1^{-1}, \;\;C_3=C_2C_1C_2^{-1},\ldots ;\;\;C_{-1}=C_0C_1C_0^{-1}, \;\;C_{-2}=C_{-1}C_0C_{-1}^{-1},\ldots, \] deren Elemente wegen \(C_0=C_0^{-1}\), \(C_1=C_1^{-1}\) sämtlich wieder Antiinvolutionen erster Art sind und mit Hilfe der Homographie \(H = C_1C_0\) für alle ganzzahligen \(p\) in der Form \[ C_p=H^pC_0 = C_0 H^{-p} \] dargestellt werden können. Auf Grund der Formel \(C_pC_q=H^{p-q}\) erklärt Verf. die Entfernung der Elemente \(C_p\) und \(C_q\) der Folge durch die Differenz \(p-q\) und, da der Multiplikator von \(H_p\) gleich der \(p\)-ten Potenz des Multiplikators von \(H\) ist, die Entfernung zweier beliebiger Antiinvolutionen erster Art \(C\), \(C'\) demgemäß durch den Logarithmus des Multiplikators der Homographie \(C'C\). Für eine hyperbolische Homographie \(H\), deren Multiplikator \(k\) also \(> 0\) ist, wird wie bisher die Folge \(H^nC\) für alle ganzen \(n\) gebildet; versteht man unter \(H^{\frac {p}{q}}\) diejenige Homographie, die mit \(H\) die Fixpunkte gemein hat, und deren Multiplikator \(k^{\frac {p}{q}}\) (\(> 0\)) ist, so kann man \(H^xC\) für alle rationalen \(x\) und durch Grenzübergang für alle reellen \(x\) bilden. Da für je drei Elemente \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) der Menge \(H^xC\) die Beziehung

\(\text{Entfernung } C_1C_2 + \text{ Entfernung } C_2 C_3 = \text{ Entfernung } C_1 C_3 \)

gilt, so nennt Verf. diese Menge eine Geodätische der Mannigfaltigkeit, und zwar von der ersten Art; die Geodätischen erster Art sind offen. Ist dagegen die Homographie \(H\) elliptisch, also von einem Multiplikator \(k=e^{i\varphi }\), und erklärt man \(H^{\frac {p}{q}}\) wie oben, indem man den Modul gleich \(e^{\frac {ip\varphi }{q}}\) setzt, so erhält man nach demselben Verfahren eine geschlossene Geodätische (zweiter Art). Ist schließlich \(H\) parabolisch, so ergibt sich eine singuläre Geodätische, die ein analoges Verhalten zeigt, wie die isotropen Geraden in der euklidischen Geometrie. Die Mannigfaltigkeit der Antiinvolutionen erster Art kann somit als Riemannscher Raum aufgefaßt werden. Das Bogenelement dieses Raumes ist indefinit. Die nähere Untersuchung der Geodätischen führt auf die sogenannten Transvektionen; das sind gewisse den Parallelverschiebungen der euklidischen Geometrie entsprechende Homographien, die für sich eine Gruppe bilden. Homographien \(H\), die mit einer Antiinvolution \(C\) erster Art der Beziehung \(CHC = H^{-1}\) genügen, sind Transvektionen, wenn ihr Multiplikator reell und negativ ist.
In Kap. IV wird “Der Riemannsche Raum der Antiinvolutionen zweiter Art” untersucht; er zeigt ein einfacheres Verhalten, weil das Bogenelement positiv definit ist und es nur eine Art von Geodätischen, solche erster Art, gibt. Die Geodätischen sind die Extremalen der Metrik; je zwei Punkte werden durch genau eine Geodätische verbunden. Transvektionen sind die hyperbolischen Homographien, und nur diese. Verf. nennt diesen Raum den Riemannschen Fundamentalraum der Mannigfaltigkeit der Antiinvolutionen zweiter Art. Jede involutorische Homographie oder Antihomosraphie der komplexen projektiven Geraden wird durch die Menge ihrer invarianten Punkte im Fundamentalraum gekennzeichnet, und zwar ist sie eine Involution oder eine Antiinvolution erster oder eine solche zweiter Art, je nachdem das invariante Gebilde eine Geodätische oder eine totalgeodätische Fläche oder ein Punkt ist. Man erhält nun ein Modell der räumlichen hyperbolischen Geometrie, wenn man als hyperbolische Punkte, Geraden und Ebenen die Punkte, Geodätischen und totalgeodätischen Flächen des Riemannschen Fundamentalraumes und als hyperbolische Bewegungen die Homographien der komplexen projektiven Geraden nimmt. Die Einteilung der Homographien und Antihomographien wird hier somit für die nichteuklidischen Bewegungen und Umlegungen fruchtbar gemacht.
In Kap. V geht Verf. davon aus, daß den in Kap. I-IV untersuchten Geometrien, der Geometrie auf der komplexen projektiven Geraden, der der Mannigfaltigkeit der Antiinvolutionen erster Art und der des Riemannschen Fundamentalraumes, die beherrschende Stellung der Gruppe der Homographien und Antihomographien der komplexen projektiven Geraden gemeinsam ist; er sucht daher jetzt “Die Geometrien, die sich auf die Homographiegruppe der komplexen projektiven Geraden gründen” auf. Indem er sich auf symmetrische Riemannsche Räume beschränkt (über diesen Begriff vgl. das in JFM 56.0370.*-371 besprochene Memorialheft des Verf.), zeigt er, daß es keine ändern als die genannten Geometrien dieser Art gibt. Verf. untersucht dazu die Automorphismen der Homographiegruppe und erhält nebenher, daß es in der nichteuklidischen Geometrie das Analogon zu den Ähnlichkeitsabbildungen nicht gibt. Dann werden hier Geometrien behandelt, die sich der komplexen eindimensionalen projektiven Geometrie unterordnen: die reelle ebene nichteuklidische Geometrie in ihrer Veranschaulichung durch das Kleinsche und das Poincarésche Modell sowie die Geometrie auf der Kugel.
Im zweiten Teil des Buches wird “Die mehrdimensionale komplexe projektive Geometrie”, und zwar in der Hauptsache für vier homogene komplexe Veränderlichen, behandelt. Kap. I dient der Herleitung der “Grundtatsachen über die dreidimensionale projektive Gruppe”. Neben die Homographien und Antihomographien treten hier noch die Korrelationen und die Antikorrelationen; die Homographien und Korrelationen zusammen bilden die Projektivitäten, die Antihomographien und Antikorrelationen zusammen die Antiprojektivitäten. Die Homographien werden mit Hilfe der charakteristischen Gleichung ihrer Matrix auf ihre Fixelemente untersucht. Dann werden die beiden Involutionen, die Zentralkollineation und die gescharte Involution (involution biaxiale), und die beiden involutorischen Korrelationen behandelt, die Verf. – entgegen dem deutschen Sprachgebrauch – zusammen als Polaritäten und einzeln als Symmetrie (im Deutschen: Polarsystem) und schiefe Symmetrie (im Deutschen: Nullsystem) bezeichnet; die Untersuchung des Nullsystems führt auch sofort auf die Linienkoordinaten im Raum. Mehr Interesse bieten die Antiinvolutionen. In der komplexen projektiven Ebene besitzt jede Antiinvolution unendlich viele Fixpunkte. Im komplexen projektiven Raum gibt es, wie auf der komplexen projektiven Geraden, Antiinvolutionen mit unendlich vielen Fixpunkten (erster Art) und ohne Fixpunkt (zweiter Art). Bei den Antiinvolutionen zweiter Art gibt es aber unendlich viele Fixgeraden; wegen einer Analogie zur linearen Kongruenz im Reellen wird die Gesamtheit dieser Geraden als eine lineare Antikongruenz bezeichnet. Eine Antipolarität (involutorische Antikorrelation) schließlich kann man auf die Gestalt \( \sum _{k,l} a_{kl}\,x_k'\,\bar x_l =0\) bringen, wobei die Matrix \((a_{kl})\) eine Hermitesche Matrix ist; nach der Signatur \(\sigma \) dieser Form unterscheidet man die elliptische Antipolarität (\(\sigma =4\)), die hyperbolische erster Art (\(\sigma = 2\)) und die zweiter Art (\(\sigma =0\)). Jede Projektivität und jede Antiprojektivität führt eine Antipolarität in eine Antipolarität derselben Klasse über.
In Kap. II wird “Der Riemannsche Raum der elliptischen Antipolaritäten” untersucht. Die Metrisierung sowie die Bestimmung der Geodätischen, des Bogenelements und der Transvektionen werden wie in Kap. III und IV des ersten Teils vorgenommen, und der Raum wird wieder als der Riemannsche Fundamentalraum bezeichnet. Dieser Raum, der sich durch den reellen fünfzehndimensionalen projektiven Raum deuten läßt, wird eingehend studiert, namentlich was die Symmetrien und die symmetrisierenden Mannigfaltigkeiten angeht. Von diesen wird im” folgenden Kapitel Gebrauch gemacht.
In Kap. III wendet sich Verf. “Geometrien, die der projektiven Geometrie untergeordnet sind” zu. Man erhält eine solche Geometrie, indem man nur diejenigen Projektivitäten oder Antiprojektivitäten betrachtet, die eine ausgezeichnete involutorische Projektivität oder Antiprojektivität, die Absolute, fest lassen. Wählt man als Absolute die Polarität in bezug auf eine Quadrik, so erhält man die komplexe nichteuklidische Geometrie; wählt man das zu einem linearen Komplex gehörige Nullsystem, so kommt man auf eine bisher wenig untersuchte Geometrie mit zehndimensionalem Fundamentalraum. Für eine Antiinvolution erster Art ergibt sich die reelle projektive Geometrie, für eine Antiinvolution zweiter Art die reelle fünfdimensionale projektive Geometrie, für eine hyperbolische Antipolarität zweiter Art die Geometrie der reellen orientierten Kugeln, für eine hyperbolische Antipolarität erster Art die Hermitesche hyperbolische Geometrie, die unter ändern Gesichtspunkten von Fubini (Atti Istituto Veneto 63 (1904), 501-513; F. d. M. 35, 142 (JFM 35.0142.*)) und von Study (Math. Ann. 60 (1905), 321-378; F. d. M. 36, 614 (JFM 36.0614.*)-615) untersucht worden ist. Schließlich legt Verf. auch zwei untereinander vertauschbare Absolute zugrunde; ihr Produkt ist dann eine dritte Absolute. So wird man z. B. auf die reelle hyperbolische Geometrie geführt, die damit als Untergeometrie sowohl der reellen projektiven als auch der komplexen nichteuklidischen als auch der Hermiteschen hyperbolischen Geometrie erscheint.
Unter den in Kap. III behandelten Untergeometrien fehlt diejenige, deren Absolute eine elliptische Antipolarität ist. Diese, “Die Hermitesche elliptische Geometrie”, wird in Kap. IV für sich behandelt. Das Verfahren, das in Kap. III stets zum Ziel geführt hat, ist hier nicht anwendbar, da die Absolute im Riemannschen Fundamentalraum der komplexen projektiven Geometrie durch einen einzigen Punkt dargestellt wird. Bei der Untersuchung der Hermiteschen elliptischen Gruppe, d. h. der Gruppe derjenigen Homographien, die diese Absolute invariant lassen, ergeben sich die folgenden vier abgeschlossenen symmetrischen Riemannschen Räume: (1) Der Raum der normalen hyperbolischen Antipolaritäten erster Art (normal nennt Verf. eine involutorische Abbildimg, wenn sie mit der Absoluten vertauschbar ist), der Hermitesche elliptische Raum (vgl. dazu die oben angeführten Arbeiten von Fubini und Study); (2) der Raum der normalen Antiinvolutionen zweiter Art; (3) der Raum der normalen hyperbolischen Antipolaritäten zweiter Art; (4) der Raum der normalen Antiinvolutionen erster Art. Diese vier Räume, insbesondere (1), werden hier der Reihe nach untersucht.
Kap. V, das letzte des Buches, hat ”Die harmonischen Polynome und die reellen Darstellungen des komplexen projektiven Raumes” zum Gegenstand. Ein Polynom \(V\,(x_1,\ldots,x_{n+1};\,\bar x_1,\ldots,\bar x_{n+1})\), das in den \(x_k\) homogen vom Grade \(p\) und in den \(\bar x_k\) ebenfalls homogen vom Grade \(p\) ist, heißt harmonisch von der \(p\)-ten Ordnung, wenn es der partiellen Differentialgleichung \[ \varDelta \,V=\frac {\partial ^2V}{\partial x_1\partial \bar x_1} +\cdots + \frac {\partial ^2V}{\partial x_{n+1}\partial \bar x_{n+1}} =0 \] genügt. Man kann alle diese Polynome linear und homogen durch \(N_p\) linear unabhängige reelle Polynome dieser Art, die Basis, darstellen; dabei ist \[ N_p = n(n+2p)\,\Bigl(\frac {(n+1)\ldots (n+p-1)}{p!}\Bigr)^2. \] Jede Homographie oder Antihomographie, die die Hermitesche Form \[ x_1\bar x_1+ x_2\bar x_2+\cdots + x_{n+1}\bar x_{n+1} \] invariant läßt, bewirkt für diese Basis nur eine lineare Substitution. Die Theorie der harmonischen Polynome führt auf Darstellungen der Punkte des komplexen projektiven Raumes durch reelle singularitätenfreie Mannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen mit passend gewählter Dimensionenzahl. Hierher gehören die harmonischen und als Sonderfall die Segreschen Mannigfaltigkeiten.
Das Buch enthält, namentlich im zweiten Teil, eine Fülle von geometrischem Stoff, der sich durch eine Besprechung nicht ausschöpfen läßt. (V 6 C.)
Besprechungen: Bulletin Sc. math. (2) 56 (1932), 33-35. Gazeta mat. 37 (1931), 259-260. Nature 130 (1932), 622. G. Fubini; Bollettino di Mat. (2) 11 (1932), I-V. B Segre; Bollettino U. M. I.11 (1932), 97-103. A. Emch; Bulletin A. M. S. 38 (1932), 457-458. A. Buhl; Enseignement 30 (1932), 301-302. G. Verriest; Revue Questions scient. (4) 21 (1932), 285-287. E. A. Weiss; Zentralbl. 3 (1932), 68-69.

Reviewer: Feigl, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 5. Algebraische Geometrie. A. Allgemeines. Birationale Transformationen.

Citations:

JFM 12.0447.*; JFM 56.0370.*; JFM 35.0142.*; JFM 36.0614.*