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A set of axioms for differential geometry. (English) JFM 57.0861.01
Die Verf. nennen eine Funktion \(F (x_1,\dots, x_n)\), definiert in einem Gebiet \([x]\), von der Klasse \(u\), wenn \(F\) innerhalb \([x]\) bis einschließlich seiner Ableitungen \(u\)-ter Ordnung definiert und stetig ist. Sodann wird ein Axiomensystem in drei Gruppen \(A\), \(B\), \(C\) aufgestellt. \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten, welche \(A\), \(B\), \(C\) genügen, heißen von der Klasse \(u\) oder reguläre Mannigfaltigkeiten. Für \(u = 0\) gehört die Theorie der regulären Mannigfaltigkeiten in die Topologie ; für \(u =1\) existieren Tangentialräume der betrachteten Mannigfaltigkeiten, für \(u = 2\) zweite Ableitungen, Komponenten eines affinen Zusammenhanges usw. Anschließend folgen topologische Betrachtungen, in welchen vor allem gezeigt wird, daß die regulären Mannigfaltigkeiten die Hausdorffschen Axiome topologischer Räume befriedigen; dazu benötigt man lediglich die Axiomengruppe \(C\). Weiter werden Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit des aufgestellten Axiomensystems geprüft; schließlich wird auf Grund der entwickelten Begriffe die “Bahnkurventheorie”, etwa an Hand des Systems: \[ \frac{d^2\,x_i}{ds^2}+\varGamma_{jk}^i \frac{dx_i}{ds}\frac{dx_k}{ds}=0 \] analysiert. (V 2, 6 C.)