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Ligne de striction et paramètre de distribution. (French) JFM 57.0890.01

Theorie der Regelflächen, ausgehend von der Darstellung \[ \mathfrak z=\mathfrak x(s) + u\cdot \mathfrak a(s), \] wobei \(\mathfrak x\) die Kehllinie ist, \(s\) die Bogenlänge von \(\mathfrak x\), \(\mathfrak a^2 = 1\). Als Bedingung dafür, daß \(\mathfrak x\) Kehllinie ist, ergibt sich \[ \mathfrak x'\mathfrak a'=0 \quad \left('=\frac d{ds}\right). \] Ist \(\vartheta\) der Winkel zwischen \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak x'\), \(\sigma\) die Bogenlänge von \(\mathfrak a\), so ist der Drall \(K=\dfrac{\sin\vartheta}{\sigma'}\).
Der Fläche \(\mathfrak z\) wird die “reziproke Regelfläche” \(\overline{\mathfrak z} = \mathfrak x + u \cdot \overline{\mathfrak a}\) zugeordnet, wobei \(\mathfrak a\times \mathfrak a_\sigma= \overline{\mathfrak a}\) gesetzt ist. \(\overline{\mathfrak z}\) hat ebenfalls \(\mathfrak x\) als Kehllinie und berührt \(\mathfrak z\) längs dieser. Es ist \[ ds^2 = K^2\,d\sigma^2 + \bar K_2\,d\bar{\sigma}^2, \quad \frac K{\bar K}=\operatorname{tg}\vartheta\frac{d\bar \sigma}{d\sigma}; \] \(\dfrac{d\bar \sigma}{d\sigma}\) ist die geodätische Krümmung von \(\mathfrak a\).
Es werden Spezialfälle untersucht, insbesondere \(\vartheta =\) const. Ist \(\vartheta =\) const und \(K =\) const, so ist \(\mathfrak x\) eine Bertrandsche Kurve oder, wenn \(\vartheta=\dfrac \pi 2\), eine Kurve konstanter Windung.
Im zweiten Abschnitt wird der Ansatz zu Aussagen über die Verbiegung von Regelflächen benutzt. Ist \(\mathfrak z\) auf \(\mathfrak z_1= \mathfrak x_1(s) + u\mathfrak a_1(s)\) längentreu abgebildet, so ist \(\mathfrak x_1\) Kehllinie von \(\mathfrak z_1\), \(\sigma_1'=\pm \sigma'\), \(K_1=\pm K\). (Jede Fläche mit \(\vartheta =\) const und \(K =\) const kann auf ein einschaliges Rotationshyperboloid abgewickelt werden.)
Im dritten Abschnitt werden in einer Reihe von Einzelfällen die Asymptotenlinien bestimmt.
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Full Text: DOI Numdam EuDML