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Systems of \(K\)-dimensional manifolds in an \(N\)-dimensional space. (English) JFM 57.0978.01

Gelegentlich einer früheren Untersuchung (1928; F. d. M. 54, 757 (JFM 54.0757.*)-758) hat Verf. die allgemeine Theorie der Geometrie der Bahnkurven als Konfiguration eines Systems analytischer Kurven in \(S_N\), analytisch abhängig von \(2N - 2\) Parametern, derart, daß ein jedes Punktepaar bei nicht zu großer Entfernung der beiden Punkte durch nur eine Kurve des Systems verbunden wird, entwickelt und durch Differentialsysteme der Art \[ \dfrac{d^2 x^i}{d t^2} = H^i\bigg(x,\dfrac{dx}{dt} \bigg) \qquad (i=1,2,\ldots,N) \] mit homogenen rechten Seiten vom Grad zwei in \(\dfrac{dx}{dt}\) charakterisiert. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Theorie, indem Verf. eine Konfiguration \(K\)-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in \(S_N\) betrachtet, analytisch derart verteilt, daß \(K + 1\) Punkte allgemeiner Lage genau eine Mannigfaltigkeit bestimmen, die diese Punkte enthält. Für \(K = 1\) enthält diese Theorie wiederum diejenige der Bahnkurven. Indessen treten gewisse Eigenschaften ihrer Objekte erst für \(K > 1\) deutlich hervor. Das so skizzierte Programm beginnt Verf. zunächst mit einer Übersicht über die zur Verwendung gelangenden Koordinaten, Parameter und Transformationsgruppen durchzuführen, um daran sogleich die partiellen Differentialgleichungen des affinen Raumes der \(K\)-Mannigfaltigkeiten \[ \dfrac{\partial^2x^i}{\partial u^\alpha\partial u^\beta} = H^i_{\alpha\beta}(x,p) \tag{*} \] zu knüpfen und ihre Homogenitätseigenschaften zu diskutieren. Dabei ergibt sich eine weitgehende Verallgemeinerung des Eulerschen Satzes über homogene Funktionen. Führt man mittels \[ \varGamma^i_{jk} = \dfrac1{K(K+1)} \dfrac{\partial^2 H^i_{\alpha\beta}} {\partial p^j_\alpha\partial p^k_\beta} \] im affinen Raum der \(K\)-Mannigfaltigkeiten eine Übertragung ein, so führen deren Integrabilitätsbedingungen auf die Relationen \[ B_{jkl}^i p_\alpha^j p_\beta^k p_\gamma^l = 0, \] worin \(B_{jkl}^i\) den aus \(\varGamma_{jk}^i\) gebildeten Krümmungstensor darstellt. Sodann entsteht die Frage, wann ein gegebenes Funktionensystem \(\varGamma_{jk}^i(x,p)\) die Komponenten eines affinen Zusammenhanges darstellt. Verf. findet dafür die folgenden charakteristischen Bedingungen: \[ \varGamma_{jk}^i = \varGamma_{kj}^i, \quad p_\sigma^a \dfrac{\partial\varGamma_{jk}^i}{\partial p_\varrho^a} = 0, \quad B_{jkl}^i p_\alpha^j p_\beta^k p_\gamma^l = 0, \quad \varGamma^i_{jk} = \dfrac1{K(K+1)} \dfrac{\partial^2 \varGamma^i_{rs} p_\alpha^r p_\beta^s} {\partial p^i_\alpha\partial p^k_\beta}. \] Nach einer Untersuchung der Transformationseigenschaften des Systems \[ \dfrac{\partial^2 x^i}{\partial u^\alpha \partial u^\beta} = H^i_{\alpha\beta}\bigg(x,\dfrac{\partial x}{\partial u}\bigg) \] gegenüber \[ u^\alpha = u^\alpha(v, a) \;\text{bzw.} \;v^\alpha = v^\alpha (u, a), \] insbesondere gegenüber “volumentreuen” Transformationen \[ \bigg|\dfrac{\partial u}{\partial v}\bigg| = \operatorname{const}, \] entwickelt Verf. eine Theorie “deskriptiver” und “volumentreuer” Differentialinvarianten. Für ”deskriptive” Invarianten gilt: \[ {}'\varGamma^i_{jk} = \varGamma^i_{jk} + \delta_j^iA_k + \delta_k^iA_j + p_\lambda^i B^\lambda_{jk}; \] für “volumentreue” verschwindet \(A_k\). Für beide Begriffe werden Äquivalenzkriterien entwickelt. Ein Raum von \(K\)-Mannigfaltigkeiten heißt “affin”-eben, wenn sich vermöge einer Koordinatentransformation (*) auf \(\dfrac{\partial^2x^i}{\partial u^\alpha\partial u^\beta}= 0\) reduziert, “volumentreu”-eben, wenn für diese Reduktion die Koordinatentransformation noch mit einer “volumentreuen” Parametertransformation ergänzt werden muß, und “deskriptiv-eben”, wenn die Reduktion in allgemeiner Weise durch Koordinaten- und Parametertransformation durchführbar wird. Für alle Fälle findet Verf. invariante Kriterien, die im allgemeinen durch das Verschwinden der entsprechenden Krümmungstensoren gegebensind.
Zum Schluß überträgt und verwertet Verf. die O. Veblensche Theorie der Normalkoordinaten auf die Methoden und Objekte der vorliegenden Arbeit. (V 6 C.)

Citations:

JFM 54.0757.*
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References:

[1] The general geometry of paths, Annals of Mathematics (2)29 (1928), pp. 143-168. This paper will be referred to hereafter asPaths. · JFM 54.0757.06
[2] This means, of course, that we are dealing with a non-singular point of aK-spread.
[3] See M. Janet,Les systèmes d’équations aux dérivées partielles (Mémorial des Sciences Mathématiques, fasc. XXI), p. 22.
[4] Normal coordinates for the geometry of paths, Proceedings of the National Academy of Sciences8 (1922), pp. 192-197. · JFM 48.0843.01
[5] Paths (see 1)), § 8 Annals of Mathematics (2)29 (1928), pp. 143-168.
[6] The geometry of paths, Transactions of the American Mathematical Society25 (1923), pp. 551-608, § 11. · JFM 50.0504.02
[7] Paths(see 1)), § 9 Annals of Mathematics (2)29 (1928), pp. 143-168.
[8] Loc. cit. § 9 Annals of Mathematics (2)29 (1928), pp. 143-168.
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