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Sur les fonctions d’une variable réelle qui admettent un théorème d’addition algébrique. (French) JFM 57.1397.07

Verf. hat in einer vorläufigen Note (C. R. 186 (1928), 672-674; F. d. M. 54, 297) die Ergebnisse von Untersuchungen mitgeteilt, die er über stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen mit algebraischem Additionstheorem angestellt hat. Das Hauptergebnis dieser Untersuchungen ist das folgende: Verf. nennt Funktion \(W\) (zu Ehren von Weierstraß, der ja zuerst analytische Funktionen mit algebraischem Additionstheorem behandelt hat) eine algebraische Funktion von \(x\) oder von \(e^{mx}\), wobei \(m\) eine Konstante bedeutet, oder von \(\wp x\) (Weierstraßsche \(\wp\)-Funktion), und er unterscheidet diese drei Funktionen als Funktionen \(W\) der ersten, zweiten und dritten Art. Es sei nun \(f (x)\) eine auf \(\langle0, a\rangle\) stetige Funktion der reellen Veränderlichen \(x\); sie besitzt ein algebraisches Additionstheorem, wenn für je zwei Werte \(x\), \(y\) aus \(\langle0, a\rangle\), für die auch \(x+y\) noch zu \(\langle0, a\rangle\) gehört, die Funktionswerte \(f(x)\), \(f(y)\), \(f(x+y)\) durch eine Gleichung \[ F\bigl(f(x),f(y),f(x+y)\bigr)=0 \] verknüpft sind, wobei \(F\) ein irreduzibles Polynom der drei Argumente ist. Dann ist \(f (x)\) stets eine Funktion \(W\), und zwar ist \(f (x)\) auf \(\langle0, a\rangle\) stückweise analytisch, genauer gesagt: Man kann \(\langle0, a\rangle\) so in endlich viele Teilintervalle zerlegen, daß \(f (x)\) auf jedem Teilintervall mit einer analytischen Funktion \(W\) derselben Art identisch ist; ist \(f_0(x)\) die Funktion \(W\), mit der \(f (x)\) auf einem gewissen Teilintervall identisch ist, so sind die Funktionen, die \(f (x)\) auf den übrigen Teilintervallen darstellen, gleich \(f_0 (x + C)\), wobei die Konstante \(C\) sich mit dem betrachteten Teilintervall ändert. Dieses Ergebnis ist vorher schon von J. F. Ritt angegeben worden (Transactions A. M. S. 29 (1927), 361-368; F. d. M. 53, 245 (JFM 53.0245.*)).
Neben diesem Hauptsatz werden die in der vorläufigen Mitteilung ebenfalls bereits erwähnten Ergebnisse über die Sonderfälle eines rationalen oder eines ganzen rationalen Additions- oder Subtraktionstheorems hergeleitet.
Schließlich werden Anwendungen auf gewisse Funktionalgleichungen, z. B. auf \[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y), \] und eine Ausdehnung der Untersuchung auf Funktionenpaare gegeben.

Citations:

JFM 53.0245.*
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