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Sur les suites convergentes de fonctions holomorphes. (French) JFM 57.1408.04
Association Française 55, 48-50 (1931).
Es handelt sich um notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß der Limes \(f(z)\) einer konvergenten Folge \(\{f_n(z)\}\) analytischer Funktionen wieder analytisch ist und daß seine Ableitung \(f'(z)\) der Limes der Folge \(\{f_n'(z)\}\) der Ableitungen ist. Verf. erhält die folgenden Resultate:
Es sei \(\{f_n(z)\}\) eine Folge in dem offenen Gebiet \(D\) analytischer Funktionen. Sie konvergiere in \(D\) gegen eine Funktion \(f(z)\), ebenso konvergiere die Folge \(\{f_n'(z)\}\) der Ableitungen gegen eine Funktion \(g(z)\).
(1) Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(f(z)\) in \(D\) analytisch und \(g(z)\) ihre Ableitung ist, lautet: Ist \(\varDelta\) ein beliebiger beschränkter, abgeschlossener Bereich im Innern von \(D\), so gibt es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\eta > 0\) derart, daß für irgend zwei Punkte \(z\) und \(z + \delta z\) aus \(\varDelta\) mit \(|\delta z| < \eta\) ein Index \(N(z,\delta z)\) existiert, von dem ab \[ \left|\frac{f_n(z+\delta z)-f_n(z)}{\delta z}-f_n'(z)\right| < \varepsilon \] gilt.
(2) Unter der zusätzlichen Voraussetzung der Stetigkeit von \(f(z)\) und \(g(z)\) läßt sich diese Bedingung in die folgende umformen: Dafür, daß \(f(z)\) in \(D\) analytisch und \(f'(z)=g(z)\) ist, ist notwendig und hinreichend, daß in jedem beschränkten, abgeschlossenen Bereich \(\varDelta\) im Innern von \(D\) die Differenzenfolge \[ \frac{f_n(z+\delta z)-f_n(z)}{\delta z}-f_n'(z) \] “quasi-gleichmäßig” gegen 0 konvergiert. Dabei heißt eine Folge \(\{\varphi_n(z,\delta z)\}\) von Funktionen zweier Veränderlicher \(z\), \(\delta z\) auf einer Punktmenge \(E\) der \(z\)-Ebene “quasi-gleichmäßig” konvergent gegen \(\varphi(z)\), wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\eta > 0\) gibt, das die folgende Eigenschaft hat: Wählt man ein \(r\) mit \(0 < r < \eta\), so existiert zu jedem Index \(N > 0\) ein zweiter \(N' > N\) derart, daß es für irgend zwei Punkte \(z\), \(z + \delta z\) aus \(E\) mit \(|\delta z|=r\) einen nur von \(z\) und \(\delta z\) abhängigen Index \(n\) zwischen. \(N\) und \(N'\) gibt, für den \[ |\varphi_n(z,\delta z)-\varphi(z)| < \varepsilon \] ausfällt.