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La théorie des équations intégrales singulières et ses applications. (French) JFM 57.1442.01

Annales Institut Poincaré 1, 401-430 (1931).
Verf. behandelt zunächst die bekannten Beispiele singulärer Integralgleichungen von Picard, Goursat und Weyl. Sodann zeigt er, unter \(D\) einen einfach zusammenhängenden Bereich verstanden, der von \(\varphi(s)\) auf den Einheitskreis abgebildet wird, daß jede in \(D\) (mit Rand) reguläre Funktion \(f(z)\) der Integralgleichung \[ f(\zeta)=\frac 1\pi \iint\limits_D \frac{\varphi'(\zeta) \overline{\varphi'(z)}}{(1 - \varphi(\zeta) \overline{\varphi(z)})^2}f(z)\,d\sigma \] (\(d\sigma =\) Oberflächenelement) genügt.
Im zweiten Abschnitt wendet er sich zu Integralgleichungen mit Hermiteschem Kern. Für \(a\leqq \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \leqq b\) sei \(K(x,y)\) meßbar und genüge der Bedingung \[ K(x,y) = \overline{K(y,x)}. \] Ferner werde vorausgesetzt, daß das Integral \[ k^2(x) = \int\limits_a^b |K(x,y)|^2\,dy \] fast überall existiert. Es soll die Integralgleichung \[ \varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b K(x,y)\varphi(y)\,dy=f(x) \tag{1} \] für nicht reelles \(\lambda\) untersucht werden. Zunächst wird eine Folge von Mengen \[ \begin{gathered} E_1 < E_2 < E_3 \cdots < E_n < \cdots, \\ \lim_{n\to \infty}(\operatorname{\text{Maß}} E_n) = b - a \end{gathered} \] gebildet, derart, daß \(\int\limits_{E_n} k^2(x)\,dx\) existiert. Dann wird eine Folge von Kernen \(K_n(x,y)\); dadurch erklärt, daß \(K_n(x,y)\) auf \(E_n\) mit \(K(x,y)\) übereinstimmt, in \((b-a)-E_n\) aber einem beliebigen beschränkten Hermiteschen Kern gleich ist. Offenbar existiert \[ \int\limits_a^b\int\limits_a^b |K_n(x,y)|^2\,dx\,dy. \] Dann kann durch Grenzübergang aus den Gleichungen \[ \varphi_n(x)-\lambda\int\limits_a^b K_n(x,y) \varphi_n(y)\,dy=f(x) \] der Existenzsatz für (1) bei nicht reellem \(\lambda\) geschlossen werden. Zur Untersuchung der Eindeutigkeitsfragen werden zwei Klassen von Kernen unterschieden, je nachdem die homogene Gleichung (1) für nicht reelles \(\lambda\) nicht identisch verschwindende Lösungen zuläßt oder nicht. Kriterien für diese Klassen folgen.
Die Spektralfunktion \(\theta(x,y|\lambda)\) wird wie folgt eingeführt: Zu den vorstehend erklärten Kernen \(K_n(x,y)\) gehören die Eigenfunktionen \(\varphi_{n,p}(x)\) (\(p=1, 2, 3,\ldots)\). Man definiere: \[ \begin{matrix} \l &\l \quad & \l \\ \theta_n(x,y|\lambda)&= \sum\limits_{0<\lambda_{n,p}< \lambda} \varphi_{n,p}(x)\overline{\varphi_{n,p}(y)} & \text{für} \quad \lambda > 0, \\ \theta_n(x,y|\lambda)&= - \sum\limits_{\lambda \leqq \lambda_{n,p}<0} \varphi_{n,p}(x)\overline{\varphi_{n,p}(y)} & \text{für} \quad \lambda < 0, \\ \theta_n(x,y|0)&=0. \end{matrix} \]
Es wird gezeigt, daß \(\theta_n\) auf der Vereinigung \(E\) der Mengen \(E_n\) konvergiert, wodurch \(\theta\) auf \(E\) erklärt ist. Es folgen die Eigenschaften der Spektralfunktion.
Im dritten Abschnitt folgen Anwendungen. Der Zusammenhang mit den Hermiteschen Formen von unendlich vielen Veränderlichen und mit Kettenbrüchen wird aufgewiesen.
Schließlich wird die Frage nach den Eigenwerten der Schrödingerschen Wellengleichung unter der Annahme einer Newtonschen Kräftefunktion für endlich viele Massenpunkte mit Hilfe der Greenschen Funktion auf eine Integralgleichung mit be schränktem Hilbertschen Kern zurückgeführt.
Full Text: Numdam EuDML