×

Sur les chaînes de Markoff. (French) JFM 57.1480.02

Untersucht wird eine Markoffsche Kette mit den Merkmalen \(A_1, A_2,\ldots,A_n\). Dabei ist \(p_i^{(k)}\) die Wahrscheinlichkeit, beim \(k\)-ten Versuch \((k = 0, 1, 2,\ldots)\) das Merkmal \(A_i\) \((i = 1, 2,\ldots, n)\) zu erhalten. Alle \(p_i^{(k)}\) sind bestimmt, wenn die \(p_i^{(0)}\) und die Übergangswahrscheinlichkeiten \(\varphi_{hi}\) gegeben sind. \(\varphi_{hi}\) ist die Wahrscheinlichkeit, das Merkmal \(A_i\) zu erhalten unter der Voraussetzung, daß das vorhergehende Merkmal \(A_k\) war, und wird als unabhängig von der Nummer \(k\) des Versuchs vorausgesetzt.
Die Ketten werden klassifiziert auf Grund der charakteristischen Zahlen der Matrix \(\{\varphi_{hi}\}\), deren wichtigste Eigenschaften mitgeteilt werden. Es werden ferner Bedingungen angegeben, unter denen die \(p_i^{(k)}\) für \(k\to\infty\) konvergieren. Die Überlegungen sind unvollständig, da übersehen wird, daß auch komplexe charakteristische Zahlen vom Betrag 1 auftreten können. Im Fall, daß alle charakteristischen Zahlen verschieden sind, werden für die \(p_i^{(k)}\) explizite Ausdrücke angegeben.
Schließlich werden die Ergebnisse auf stetige Ketten übertragen. An Stelle der Systeme linearer Gleichungen treten dann lineare Integralgleichungen.

PDF BibTeX XML Cite