Sur l’analysis situs des variétés à \(n\) dimensions. (French) JFM 57.1520.06

de Rham, G.

Thèse. Journ. de Math. (9) 10, 115-200 (1931).

Die Arbeit gliedert sich, in vier Abschnitte. Im ersten wird, anschließend an H. Weyl (Analisis situs combinatorio, Rev. Mat. Hisp. Amer. 5 (1923); 209-218, 241-249, 273-279) die kombinatorische Theorie der (endlichen) Komplexe und der Homologie aufgebaut; für Sphäre und Mannigfaltigkeit werden die umfassendsten für das folgende brauchbaren Begriffe gewählt, die Alexander-van-Kampenschen.
Der zweite Abschnitt bringt die Lehre von den Schnittgebilden und Verschlingungszahlen. Beide werden gleichzeitig durch vollständige Induktion erklärt. Bei gradem \(n\) liefern die Schnittzahlen der \(\dfrac{n}{2}\)-Zyklen eine symmetrische oder schiefe Bilinearform \(\biggr(\)je nach dem ob \(\dfrac{n}{2}\) grade oder ungrade ist\(\biggr)\) und damit im ersten Falle in der Klasse der quadratischen Form eine kombinatorische Invariante der Mannigfaltigkeit, im zweiten nur die Aussage, daß die mittelste Bettische Zahl gerade ist. Verschlingungszahlen werden nicht nur Paaren von nullhomologen Zyklen (der Dimensionen \(q\) und \(n - q - 1\)), sondern auch bloßen Nullteilern zugewiesen. Bemerkenswert ist die eindringende arithmetische Untersuchung (im Falle \(n = 4p + 1\)) der Verschlingungszahlen der Nullteiler unter den \(2p\)-Zyklen miteinander.
Der dritte Abschnitt stiftet die Verbindung zwischen den mehrfachen Integralen in einer zweimal stetig differenzierbaren Mannigfaltigkeit und der Homologie- und Schnittlehre des zu einer Zellenteilung gehörigen kombinatorischen Komplexes. Über die Mannigfaltigkeit und ihre Zellenteilung werden dabei unbedenklich kräftige Voraussetzungen gemacht. Es gelingt, jeder orientierten \(q\)-Zelle \(a_i^q\) eine \(q\)-fach lineare alternierende Differentialform \(\omega \,\bigl(a_i^q\bigr)\) zuzuordnen mit den Eigenschaften:
1) \(\omega \,\bigl(a_i^q\bigr)\) ist Null außerhalb eines Gebietes, das ganz in den an \(a_i^q\) grenzenden Zellen liegt (und noch genauer gekennzeichnet wird);
2) \(\displaystyle\int\limits_{a_i^q}\omega \,\bigl(a_i^q\bigr)= {0\brace 1}\), wenn \(\displaystyle{i\not=k\brace i=k}\);
3) ist \(\sum y_ia_i^{q-1}\) der Rand von \(\sum x_ia_i^q\), so ist \(\sum x_i\omega \,\bigl(a_i^q\bigr)\) die Ableitung von \(\sum y_i\omega \,\bigr(a_i^{q-1}\bigl)\).
Auf Grund dieser Konstruktion ergibt sich ein vollständiger Gleichlauf zwischen den Theorien der Homologie und Schnittgebilde einerseits, der mehrfachen Integrale andrerseits. Am Schluß weist der Verf. hin auf seinen Plan, beide Theorien einem gemeinsamen Oberbegriff unterzuordnen.
Der vierte Abschnitt bringt eine Reihe lehrreicher Beispiele von Mannigfaltigkeiten, die erst durch die im zweiten Abschnitt eingeführten Invarianten als nicht homöomorph erkannt werden.

Reviewer: Kneser, H., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.