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Introduction à la géometrie infinitésimale directe. (French) JFM 58.0086.03
239 p. Paris, Vuibert (1932).
Wie es auch in der höchst lesenswerten Vorrede von E. Cartan ausgesprochen wird, führt das Buch in diejenigen Untersuchungen ein, bei welchen die moderne mengentheoretische Geometrie für die Differentialgeometrie nutzbar gemacht wird: Die klassische Differentialgeometrie leitet nämlich ihre Sätze meist rein rechnerisch ab. Zur Ermöglichung dieser Rechnungen sind dann Annahmen über die arithmetische Darstellung der betrachteten Gebilde erforderlich, welche nicht nur die Allgemeinheit der Beweise einschränken, sondern auch die Ergebnisse wesentlich beeinflussen können. Demgegenüber soll hier der Gültigkeitsbereich der Sätze abgegrenzt werden durch Bedingungen, welche in der Natur der Fragestellungen selbst begründet und nicht durch die mehr zufälligen Beweisverfahren nahegelegt sind. Zu diesem Zweck wird man zunächst die Grundbegriffe der Differentialgeometrie wie Tangente, Grenzsekante, Tangentialebene rein geometrisch möglichst gleich für beliebige Mengen einführen und die Zulässigkeit etwa benötigter arithmetischer Darstellungen der betrachteten geometrischen Gebilde erst aus den jeweiligen geometrischen Voraussetzungen der Probleme gewinnen. Im allgemeinen wird man es dabei nicht z. B. mit einer einzigen Halbtangente (oder Grenzsekante usw.) im betrachteten Punkte zu tun haben, sondern mit einer Halbtangentenmenge (sog. lineares Kontingent) bzw. Grenzsekantenmenge (Paratingent) usw. Ohne weiteres bieten sich hier die verschiedensten Fragen, z. B. die a) nach der Beschaffenheit z. B. des Kontingents \(\text{a}_1\)) bei beliebigen oder \(\text{a}_2\)) bei speziellen Punktmengen, b) nach der Beschaffenheit der Punktmenge bei einschränkenden Annahmen über z. B. das Kontingent (etwa die, daß das Kontingent überall eben sei), c) nach der Invarianz des Kontingents bei Gruppen topologischer Abbildungen, denen geeignete Differenzierbarkeitsbedingungen auferlegt sind; und anderes mehr. Die entsprechenden Verallgemeinerungen der verschiedenen klassischen Definitionen von Schmiegkreis-, Tangenten- und Schmiegebene usw. liefern neue Kontingent- bzw. Paratingentbegriffe und damit neue Fragen. - Als Beispiel nennen wir auch Beweise der flächentheoretischen Sätze von Euler und Meusnier unter sehr allgemeinen Voraussetzungen (vgl. Kap. 15; dort wäre noch eine Arbeit von Hjelmslev (1914; F. d. M. 45, 379 (JFM 45.0379.*)) zu nennen, welcher noch weniger Voraussetzungen benötigt). - Damit sind im großen und ganzen diejenigen Fragenkreise aus der oben allgemein definierten “mengentheoretischen” Differentialgeometrie angedeutet, in welche das Buch einführt, und an deren Stellung und Förderung der Verf. selbst mit eigenen Arbeiten stark beteiligt ist. Zur näheren Erläuterung sei noch folgende kurze Inhaltsangabe beigefügt:
Einleitung (Kap. 1), Grundbegriffe der Punktmengenlehre (Kap. 2, 3), Borelscher Überdeckungssatz mit Anwendungen insbesondere auf Funktionen (Kap. 4). Weiteres aus der Topologie des euklidischen Raumes (Kap. 5-9). - Gruppen von differenzierbaren Abbildungen. Kontingent. Paratingent (Kap. 10, 11). Anwendung des Paratingents zur Untersuchung konvexer Oberflächen (Kap. 12). Andere Kontingent- und Paratingentbildungen mit Anwendungen (Kreiskontingent usw.; Kap. 13-15). Rektifizierbare Bogen (Kap. 16). Bemerkungen über den Dimensionsbegriff. (Kap. 17). Anhänge. Aufgaben und Probleme.
Das Buch knüpft stets an einfache, dem Anfänger zugängliche Tatbestände an, ist leicht verständlich geschrieben und stellt eine sehr anregende Einführung in die oben näher bezeichneten Fragenkreise dar.