Die Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nicht kommutativen Gruppen. (German) JFM 58.0136.01

Fitting, H.

Math. Ann. 107, 514-542 (1932); Berichtigung. Math. Ann. 109, 616 (1934).

Die Arbeit bringt eine Verallgemeinerung der Theorie der hyperkomplexen Systeme. Ein hyperkomplexes System kann aufgefaßt werden 1) als eine verallgemeinerte abelsche Gruppe mit sich selbst als Operatorenbereich und 2), wenn eine Einheit existiert, als Automorphismenring dieser Gruppe. Die Zerlegungsgesetze können also gruppentheoretisch und ringtheoretisch gedeutet werden. Die Verallgemeinerung besteht nun darin, daß neben einer beliebigen verallgemeinerten Gruppe \(\mathfrak G\) mit Doppelkettensatz die Gesamtheit der “normalen” Automorphismen dieser Gruppe \((A\rightarrow A\varTheta )\) betrachtet wird; dabei ist ein normaler Automorphismus mit allen inneren Automorphismen von \(\mathfrak G\) vertauschbar. Bei einer abelschen Gruppe bilden die Automorphismen einen Ring. (Die Summe zweier Automorphismen \(\varTheta \) und \(\varPi \) wird definiert durch die Zuordnung \(A\rightarrow A\varTheta \cdot A\varPi \), das Produkt von \(\varTheta \) und \(\varPi \) durch die Zuordnung \(A\rightarrow (A\varTheta )\varPi \).) Die Addition der Automorphismen braucht bei beliebigen Gruppen nicht mehr ausführbar zu sein. Die Automorphismen einer beliebigen Gruppe bilden aber einen “Bereich”.
Ein Bereich verhält sich bei der Multiplikation wie ein Ring; in bezug auf die Addition gibt es aber zusammensetzbare und nicht zusammensetzbare Elemente. Die addierbaren Elemente müssen gewissen Axiomen genügen. In einem Bereich gelten entsprechende Zerlegungsgesetze wie in einem Ring; dabei versteht man unter einem Ideal eine Menge von Elementen, die mit \(a\) und \(b\) im Fall der Addierbarkeit auch \(a+b\) und mit \(a\) auch jedes \(ra\) (\(r\) im Bereich) enthalten; die Summe zweier Ideale enthält die Summe je zweier addierbarer Elemente.
Bei den Automorphismen besteht die Addierbarkeitsvoraussetzung darin, daß \(A\varTheta \) mit \(A\varPi \) vertauschbar ist für jedes \(A\subset \mathfrak G\). Die Elemente des “Kerns”, d. h. des Ringes derjenigen Automorphismen, die auf das Zentrum von \(\mathfrak G\) abbilden, sind zu allen Elementen addierbar.
Ein normaler Automorphismus \(\varTheta \) erzeugt in der Gruppe eine “verallgemeinerte Peircesche Zerlegung” \[ \mathfrak G =\mathfrak G^\ast \times \mathfrak G^{\ast \ast }. \] \(\mathfrak G^\ast \) ist die Menge der Elemente, für die \[ \mathfrak G\varTheta ^n = \mathfrak G\varTheta ^{n+1}=\mathfrak G^\ast \] für ein gewisses sicher existierendes \(n\) (Doppelkettensatz). \(\mathfrak G^{\ast \ast }\) besteht aus den Elementen, die durch \(\varTheta ^n\) der Identität zugeordnet werden.
Der normale Automorphismenbereich \(\mathfrak A\) enthält nur Nullteiler und Einheiten; \(\varTheta \) ist Nullteiler oder Einheit, je nachdem ob \(\mathfrak G^\ast \subset \mathfrak G\), \(\mathfrak G^{\ast \ast }\neq E\) oder \(\mathfrak G^\ast =\mathfrak G\), \(\mathfrak G^{\ast \ast } = E\).
Das Hauptergebnis der Arbeit ist der folgende Satz: Jede direkte Produktzerlegung von \(\mathfrak G\) \[ \mathfrak G =\mathfrak H_1\times \cdots \times \mathfrak H_8 (1) \] führt zu einer direkten Summenzerlegung von \(\mathfrak A\) in Links- bzw. Rechtsideale: \[ \mathfrak A=\mathfrak AH_1+\cdots +\mathfrak A H_8 = H_1\mathfrak A+\cdots +H_8\mathfrak A. \] In ihr ist \(H_\sigma \) derjenige Automorphismus, der jedem Element seine \(\mathfrak H_\sigma \)-Komponente zuordnet. Umgekehrt erhält man aus jeder Zerlegung von \(\mathfrak A\) nach Links- bzw. Rechtsidealen \[ \mathfrak A = \mathfrak L_1+\cdots +\mathfrak L_t =\mathfrak R_1+\cdots +\mathfrak R_t, \] in der die Identität \(P_1\) in der Form \[ P_1=H'_1+\cdots +H'_t \] dargestellt wird, eine direkte Produktzerlegung von \(\mathfrak G\), in der die Komponenten die Gruppen \(\mathfrak G H'_\tau \) sind.
Elemente aus verschiedenen Idealen \(\mathfrak AH_\sigma \) und \(\mathfrak AH_\tau \) sind stets addierbar. Die Ideale \(H_\sigma \mathfrak A \) bzw. \(H_\tau \mathfrak A\) sind dann und nur dann direkt unzerlegbar, wenn die zugehörigen \(\mathfrak H_\sigma \) es sind. Aus der direkten Unzerlegbarkeit von \(\mathfrak G\) folgt also die direkte Unzerlegbarkeit von \(\mathfrak A\) und umgekehrt. In diesem Fall besteht \(\mathfrak A\) nur aus Nullteilern und Einheiten; alle Ideale sind nilpotent, und es existiert ein Radikal.
Die Darstellung von \(\mathfrak A\) als direkte Summe direkt unzerlegbarer Links- bzw. Rechtsideale ist bis auf Operatorisomorphie eindeutig. Die Darstellung von \(\mathfrak A\) als direkt Summe von zweiseit igen, zweiseitig direkt unzerlegbaren Idealen ist absolut eindeutig; sie entsteht in der oben beschriebenen Weise aus einer Zerlegung (1), wenn die \(\mathfrak H_\nu \) in bezug auf die normalen Automorphismen charakteristisch, charakteristisch direkt unzerlegbare Normalteiler sind.
Bedeutet \(H_\mu \mathfrak AA_\nu =\mathfrak A_{\mu \nu }\) die Menge der Erweiterungen aller normalen \(\mathfrak H_\mu \)- \(\mathfrak H_\nu \)-Isomorphismen (Abbildungen von \(\mathfrak H_\mu \) auf Untermengen von \(\mathfrak H_\nu \)), so kann man \(\mathfrak A\) als direkte Summe der \(r^2\) Bereiche \(\mathfrak A_{\mu \nu }\) darstellen. Ist \(\varTheta _{\mu \nu }\subset \mathfrak A_{\mu \nu }\), so ergibt sich eine getreue Darstellung des Bereiches durch Matrizen \[ \varTheta = \sum _{\mu,\nu }\varTheta _{\mu \nu }\rightarrow \begin{pmatrix} \varTheta _{11}&\ldots &\varTheta _{1r}\\ \vdots &&\vdots \\ \varTheta _{r1}&\ldots &\varTheta _{rr}\end{pmatrix}. \] Die Faktoren \(\mathfrak H_\nu \) seien jetzt direkt unzerlegbar. Das Radikal \(\mathfrak C\) wird dann aus den Elementen \(\varGamma \) gebildet, die sich als direkte Summen von Erweiterungen aller uneigentlichen normalen \(\mathfrak H_\mu \)- \(\mathfrak H_\nu \)-Isomorphismen darstellen lassen. Der Beweis ergibt sich aus dem Satz, daß eine multiplikativ abgeschlossene Menge von nilpotenten Elementen selbst nilpotent ist. Aus der Existenz des Doppelkettensatzes in \(\mathfrak G\) folgt also die Existenz des Radikals in \(\mathfrak A\).
\(\mathfrak A_{\mathfrak z}\) sei der Kern von \(\mathfrak A\); \(\mathfrak C_{\mathfrak z}=(\mathfrak A,\mathfrak C)\). Die Struktur der Restklassenbereiche \(\mathfrak A/\mathfrak A_{\mathfrak z}\) und \(\mathfrak A/\mathfrak C_{\mathfrak z}\) die gebildet werden können, da \(A_{\mathfrak z}\subset \mathfrak A_{\mathfrak z}\) zu allen Elementen addierbar ist, wird angegeben. Für die abelschen Gruppen ergibt sich hier als Spezialfall, daß der Restklassenring nach dem Radikal direkte Summe von vollständigen Matrizenringen ist.

Reviewer: Fenchel-Sperling, Käthe (Kopenhagen)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra.

References:

[1]	Diese Arbeit hat in etwas speziellerer Gestalt im Juli 1931 der mathematischnaturwissenschaftlichen Fakult?t der Universit?t G?ttingen als Inauguraldissertation vorgelegen. Fr?ulein E. Noether bin ich f?r mannigfache Ratschl?ge bei der Abfassung dieser Abhandlung zu gr??tem Dank verpflichtet.
[2]	?ber Gruppen mit Operatoren orientiere man sich im Lehrbuch: Moderne Algebra von v. d. Waerden (im folgenden mit v. d. W. zitiert), Bd. I, ? 38.
[3]	Vgl. E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahlund Funktionenk?rpern, Math. Annalen96, ? 10.
[4]	Auf die besondere Bedeutung der ?normalen? Isomorphie wies u. a. auch K. Shoda hin in seiner Arbeit: Bemerkungen ?ber vollst?ndig reduzible Gruppen (Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo, Section 1, 2, Part. 7).
[5]	Das Wort ?Bereich? hat also in dieser Arbeitnicht wie ?blich die allgemeine Bedeutung einer beliebigen Menge.
[6]	Die entsprechenden S?tze der Ringtheorie sind z. B. in der Arbeit von E. Noether: Hyperkomplexe Gr??en und Darstellungstheorie, Math. Zeitschr.30, ??9, 10, 11, bewiesen.
[7]	Hinsichtlich der Ausf?hrungen dieses Paragraphen vergleiche man z. B. v. d. W. Bd. II, ? 114.
[8]	In der Ringtheorie gehen die Begriffe ?prim?r? und ?vollst?ndig prim?r? auf E. Artin, Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Abhandl. des math. Seminars der Universit?t Hamburg5, S. 256, zur?ck.
[9]	Das gleiche gilt nat?rlich auch f?ralle Automorphismen; dieser umfassendere Bereich soll aber, da in ihm die wesentlichsten Strukturs?tze unserer Theorie nicht gelten, ganz unber?cksichtigt bleiben.
[10]	Da eine Verwechslung mit den gemeinhin charakteristisch genannten Untergruppen nicht zu bef?rchten ist, lassen wir im folgenden den Zusatz normal zur Vermeidung unn?tiger L?ngen fort, charakteristisch schlechthin bedeutet also immer normal-charakteristisch.
[11]	Wie ich nachtr?glich erfahre, ist dieser Spezialfall (vollst?ndig reduzibel) schon vor l?ngerer Zeit von J. Rabinowitsch (Moskau) behandelt worden, dessen Ergebnisse in v. d. W., Bd. II, ? 171 ver?ffentlicht sind.
[12]	Man vergleiche hierzu Satz 11 der Arbeit von E. Artin: Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen S. 256, Abh. d. Math. Seminars d. Univ. Hamburg 5.
[13]	In der Ringtheorie stimmt diese Aussage mit dem bekannten Satz ?berein, da? ein zweiseitig (d. h. charakteristisch) einfacher Ring (mit Doppelkettensatz) einem vollst?ndigen Matrizenring ?ber dem Automorphismenk?rper der einfachen Links- oder Rechtsideale isomorph ist (vgl. v. d. W., Bd. II, ? 118 oder E. Noether, Hyperkomplexe Gr??en und Darstellungstheorie, Math. Zeitschr.30, ? 14).
[14]	In der Theorie der hyperkomplexen Systeme (Algebren) ist dieser Satz mit dem von uns auf neuem Wege bewiesenen Satz 10 des Dicksonschen Buches: Algebren und ihre Zahlentheorie S. 130 (deutsche Ausgabe) identisch.