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Zur Theorie der Idealklassen in algebraischen Funktionenkörpern. (German) JFM 58.0149.02
\(\varSigma \) sei ein Körper, \(z\) eine Unbestimmte, \(k\) sei eine endliche algebraische Erweiterung erster Art von \(\varSigma (z)\); \(\varSigma \) enthalte alle von \(\varSigma \) algebraisch abhängigen Elemente von \(k\). \(\mathfrak v\) sei der Ring der ganzen algebraischen Funktionen aus \(k\). Die Gruppe der Idealklassen von \(\mathfrak v\) ist die Faktorgruppe der Gruppe aller Ideale von \(\mathfrak v\) nach der Gruppe der Hauptideale. Verf. beweist folgendes Analogon zu einem Satz von Minkowski: In jeder Idealklasse \(\mathfrak A\) von \(\mathfrak v\) gibt es ein Ideal, für das der Grad der Norm nicht größer ist als die halbe Verzweigungszahl von \(k\) (vgl. F. K. Schmidt, 1931; JFM 57.0229.*). Der Beweis erfolgt mit Hilfe einer in der Arbeit von F. K. Schmidt abgeleiteten Formel.
Citations:
JFM 57.0229.*
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References:
[1] Hierfür vergleiche man: Dedekind-Weber, Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, Journ. f. d. r. u. a Math.92 (1882), S. 181-290; auch R. Dedekind, Gesammelte Werke I, S. 238-349, ferner F. K. Schmidt, Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristikp, Math. Ztschr.33 (1931), S. 1-32; M. Deuring, Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen, Math. Annalen,106 (1932), S. 77-102.
[2] In der Arbeit von Dedekind und Weber ist die arithmetische Theorie fur die algebraischen Funktionen im Sinne der Funktionentheorie ausgeführt. Für die allgemeine Theorie vergleiche man F. K. Schmidt und M. Deuring.
[3] Für den Beweis des Riemann-Rochsehen Satzes sei auf die Arbeit von F. K. Schmidt verwiesen, in der dieser Beweis so allgemein geführt wird, daß er auch für beliebige Koeffizientenkörper gilt.
[4] In der Arbeit von F. K. Schmidt, § 6, Satz 8.
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