Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung. (German) JFM 58.0172.02

Noether, E.

J. f. M. 167, 147-152 (1932).

Ist \(K/k\) ein Galoisscher Zahlkörper, so heißt eine aus konjugierten Elementen bestehende Basis der Hauptordnung \(\mathfrak D\) von \(K\) in bezug auf die Hauptordnung \(\mathfrak o\) von \(k\) eine Normalbasis von \(K/k\). Verf. beweist: An jeder Stelle \(\mathfrak p\), die nicht im Grad \(n\) von \(K/k\) aufgeht, besitzt \(\mathfrak D_{\mathfrak p}/\mathfrak o_{\mathfrak p}\) eine Normalbasis. Hierbei bedeuten \(\mathfrak D_{\mathfrak p}\) und \(\mathfrak o_{\mathfrak p}\) die Hauptordnungen der \(\mathfrak p\)-adischen Erweiterungen \(K_{\mathfrak p}\) und \(k_{\mathfrak p}\) von \(K\) bzw. \(k\), wobei \(\mathfrak p\) Primideal aus \(k\) ist.
Im besonderen existiert an jeder Verzweigungsstelle eine Normalbasis, falls \(K/k\) keine höhere Verzweigung hat. “Bei Galoisschen Körpern \(K/k\) ohne höhere Verzweigung wird die Diskriminante an jeder Verzweigungsstelle gleich dem Quadrat der Gruppen determinante der Galoisschen Gruppe, wenn man die Unbestimmten durch die Normalbasis ersetzt. Den irreduziblen Darstellungen entsprechend zerfallt die Gruppendeterminante in verallgemeinerte Wurzelzahlen, die Diskriminante in Ideale des mit den Charakteren erweiterten Grundkörpers, wobei konjugiert-komplexen Charakteren dieselben Ideale entsprechen.” Für den besonderen Fall, daß \(k\) der Körper der rationalen Zahlen, \(K/k\) zyklisch von zur Diskriminante primem Primzahlgrad \(l\) ist, wird hieraus noch eine Diskriminantenzerlegung in Übereinstimmung mit Artins Führern gewonnen.
Nachtragliche Bemerkung: Eine notwendige Ergänzung rührt von Deuring her (1932; JFM 58.0141.*).

Reviewer: Loewy, A., Prof. (Freiburg im Breisgau)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 7. Idealtheorie.

Citations:

JFM 58.0141.*