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Über die Bewertungen algebraischer Zahlkörper. (German) JFM 58.0173.01

Verf. gibt einen sehr einfachen Beweis des bekannten Ostrowskischen Satzes (1917; F. d. M. 46, 170 (JFM 46.0170.*)): Jede Bewertung eines endlichen algebraischen Zahlkörpers \(k\) wird durch eine endliche (Primideal) oder durch eine unendliche (absoluter Betrag) Primstelle erzeugt. Die Aufgabe, alle Bewertungen von \(k\) zu finden, ist gleichbedeutend mit der Bestimmung aller reellwertigen Funktionen \(\varphi (x)\), die für alle \(x\) aus \(k\) definiert sind und den Bedingungen \[ \begin{aligned} (1)&\quad \varphi (0)=0,\quad \varphi (x)>0\text{ sonst,}\qquad (2)\quad \varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y),\\ (3)&\quad \varphi (x+y)\leqq \varphi (x)+\varphi (y)\qquad \end{aligned} \] genügen. Sind \(p\) und \(q\) zwei natürliche Zahlen \(>1\), so folgen die beiden Lösungsmöglichkeiten leicht aus der Abschätzung \[ \varphi (p)\leqq \text{ Max }\left (1,\varphi (q)^{\frac {\log p}{log q}}\right ). \]

Citations:

JFM 46.0170.*
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Full Text: DOI Crelle EuDML