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Über die Abschätzung des absoluten Betrages des Regulators eines algebraischen Zahlkörpers nach unten. (German) JFM 58.0173.04
Bezeichnungen: \(n\) sei der Grad des Zahlkörpers, \(r\) die Anzahl der reellen konjugierten Körper, \(s\) die Anzahl der komplexen konjugierten Körper, \(k=r+s-1\) die Anzahl eines Systems von Fundamentaleinheiten \(\vartheta _1^{(1)},\vartheta _1^{(2)},\ldots,\vartheta _1^{(k)}\) (die konjugierten Einheiten seien \(\vartheta _\nu ^{(1)},\vartheta _\nu ^{(2)},\ldots,\vartheta _\nu ^{(k)}\) für \(\nu =1,\ldots,n\)), \(R\) der Regulator, \(\psi _\nu =1\) für \(\nu =1,\ldots,r\), \(\psi _\nu =2\) für \(\nu =r+1,\ldots,r+s\). Jede Einheit ist darstellbar in der Form \[ \varepsilon =\vartheta _1^{(1)x^{(1)}} \vartheta _1^{(2)x^{(2)}}\cdots \vartheta _1^{(k)x^{(k)}}\cdot \eta _1^{x^{(k+1)}}, \] wo \(\eta _1\) eine Einheitswurzel vom Maximalgrad \(w\) ist. Man betrachte die quadratische Form \[ \sum _{\nu =1}^{r+s}|\psi _\nu \log \varepsilon _\nu |^2=\sum _{\nu =1}^{r+s}\{\mathfrak R (\psi _\nu \log \varepsilon _\nu )\}^2+\sum _{\nu =1}^{r+s}\{\mathfrak J(\psi _\nu \log \varepsilon _\nu )\}^2 (1) \] in den \(2k+1\) Variablen \[ \begin{aligned} \mathfrak R(\psi _\nu \log \varepsilon _\nu )&=y_\nu \text{ für }\nu =1,\ldots,k\\ \mathfrak J(\psi _\nu \log \varepsilon _\nu )&=y_{k+\nu }\text{ für }\nu =1,\ldots,k+1.\end{aligned} \] Der Realteil der \((k + 1)\)-ten Konjugierten ist \(\bar y=-\sum \limits _{\nu =1}^ky_\nu \). Aus (1) wird: \[ \sum _{\nu =1}^{r+s}|\psi _\nu \log \varepsilon _\nu |^2=\bar y^2+\sum _{\nu =1}^{2k+1}y_\nu ^2 (2) \] in \(2(k+1)\) Variablen.
Die \(y_\nu \) können linear durch \(x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k+1)},x^{(k+2)},\ldots,x^{(2k+1)}\) ausgedrückt werden (in dem \(2(k+1)\)-dimensionalen Raum, in dem die Logarithmen der Einheiten dargestellt werden, können die Imaginärteile der Logarithmen \(\text{mod }2\pi \) beliebig abgeändert werden; dazu dienen die letzten \(k\) Variablen \(x^{(k+2)},\ldots,x^{(2k+1)}\)). Die Transformationsmatrix mit der Determinante \(R\cdot \frac {2^n\pi ^{r+s}}w\) sieht folgendermaßen aus: \[ C=\begin{pmatrix} R & N_{k,k+1}\\ I&\begin{matrix} \psi _1\frac {2\pi }w & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ m_2\psi _2\frac {2\pi }w & \psi _22\pi & 0 & \ldots & 0 \\ m_3\psi _3\frac {2\pi }w & 0 &\psi _32\pi & \ldots & 0 \\ \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ m_{k+1}\psi _{k+1}\frac {2\pi }w & 0 & 0&\ldots & \psi _{k+1}2\pi \end{matrix} \end{pmatrix}, \] wobei \(N_{k,k+1}\) matrix vom Typus \((k,k+1)\), \(I\) die - entsprechend \(R\) - aus den Imaginärteilen von \(\psi _\nu \log \vartheta _\nu ^{(\mu )}\) für \(\nu =1,\ldots,k+1\), \(\mu =1,\ldots,k\) gebildete Matrix vom Typus \((k+1,k)\) und \(m_\nu \) ganze rationale Zahlen sind. Man erhält durch Anwendung der Transformation \( C\) auf (2) die quadratische Form \[ Q(x)=\sum _{\mu,\sigma =1}^{2k+1}x^{(\mu )}x^{(\sigma )}\varphi ^{(\mu,\sigma )}, \] mit der Determinante \[ \|\varphi ^{(\mu,\sigma )}\| = \left \{\sqrt {r+s}R\cdot \frac {2^n\pi ^{r+s}}w\right \}^2. \] Mit Hilfe der Blichfeldtschen Abschätzung für das Minimum \(M\) der quadratischen Form (1914; F. d. M. 45, 314 (JFM 45.0314.*)) ergibt sich \[ |R^\ast |=\left |\sqrt {r+s}\cdot \frac {R\cdot 2^n\pi ^{r+s}}w\right |\geqq \frac {(\sqrt M)^{2k+1}\pi ^{\frac {2k+1}2}}{2^{\frac {2k+1}2}\varGamma \left (2+\frac {2k+1}2\right )}. (3) \] Die Aufgabe ist also, eine untere Schranke für \(M\) zu finden. Im ersten Hauptfall (\(\varepsilon _1\neq 1\)) ergibt sich \[ \sqrt M\geqq \frac n{\sqrt {r+s}}\log 2. \] Im zweiten Hauptfall (\(\varepsilon _1=1\)), der in dem \(2(k+1)\)-dimensionalen Raum möglich ist, da die Logarithmen der konjugierten Zahlen ganzzahlige Vielfache von \(2\pi i\) sein können ergibt sich \[ \begin{alignedat}{2} \sqrt M &=2\pi &\quad \text{ für }& r\geqq 1,\\ \sqrt M &=4\pi &\quad \text{ für }& r= 0, s=\frac n2\end{alignedat} \] (für den Fall des total imaginären Körpers), also allgemein \[ \sqrt M\geqq \text{ Min }\left (\frac n{\sqrt {r+s}}\log 2; 2\pi \right ). (4) \] Bemerkenswert ist, daß die Abschätzung nach (3) und (4) nicht von der Körperdiskriminante abhängt. - Im Fall des total reellen Körpers kann man die Abschätzung verbessern, indem man statt der \(\varepsilon _\nu \) deren Quadrate \(\varepsilon _\nu ^2\) betrachtet. Dann haben die Einheiten lauter reelle positive Konjugierte, die Logarithmen sind reell. - Dieses Quadrieren kann auch im Fall eines beliebigen Körpers von Vorteil sein. - Eine weitere Verbesserung kann man durch “Dilatation” der zu den Imaginärteilen gehörigen Veränderlichen erhalten. - Zum Schluß wird die Abschätzung für große \(n\) untersucht. Für total imaginäre Körper geht die Abschätzung mit wachsendem \(n\) schnell gegen 0, für total reelle Körper schwach gegen \(\infty \). - Die Regulatoren aller total reellen Körper sind absolut größer als \(\frac 1{1000}\).

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Full Text: DOI Crelle EuDML