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Sur les classes des corps circulaires. (French) JFM 58.0180.02
Durch Anwendung der Sätze der Klassenkörpertheorie wird die Kummersche Theorie der Idealklassen des Kreiskörpers \(R(\zeta )\) der \(l\)-ten Einheitswurzeln (\(l\) Primzahl) weitgehend von Rechnungen befreit, ohne daß allerdings die von Kummer eingeführten logarithmischen Differentialquotienten entbehrlich gemacht werden. Die Grundlage bildet ein von Kummer ausgesprochener, aber nicht stichhaltig bewiesener Satz, daß die Klassenzahl von \(R(\zeta )\) durch die Klassenzahl jedes Teilkörpers teilbar ist. Für diesen Satz wird ein durchsichtiger klassenkörpertheoretischer Beweis gegeben. Die dann folgende explizite Konstruktion der über \(R(\zeta )\) unverzweigten zyklischen Körper \(l\)-ten Grades für den Fall, daß die Klassenzahl von \(R(\zeta +\zeta ^{-1})\) nicht durch \(l\) teilbar ist, führt zu folgender Verallgemeinerung des letzten Kummerschen Ergebnisses zur Fermatschen Vermutung:
Seien unter den ersten \(\frac {l-3}2\) Bernoullischen Zahlen \(B_n\) nur \(B_{n_1},\ldots,B_{n_p}\) durch \(l\) teilbar. Ist dann die Klassenzahl von \(R(\zeta )\) nicht durch \(l^{p+1}\) teilbar und ist keine der Bernoullischen Zahlen \(B_{n_il}\) durch \(l^3\) teilbar, so ist die Fermatsche Gleichung in \(R(\zeta +\zeta ^{-1})\) nur trivial lösbar.

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Full Text: EuDML