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Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulates, daß zwischen \(x\) und \(2x\) stets Primzahlen liegen. (German) JFM 58.0194.02
Aus dem Hauptsatz der Lehre der Primzahlen, durch den ihre Anzahl abgeschätzt wird, ergibt sich auch das weitgehendste Theorem über die Verteilung der Primzahlen: Zu jedem beliebig vorgegebenen positiven \(\varepsilon \) läßt sich eine positive Zahl \(s\) bestimmen, so daß für alle positiven ganzen Zahlen \(x\), die gleich oder größer als \(s\) sind, zwischen \(x\) und \(x(1+\varepsilon )\) mindestens eine Primzahl gelegen ist. Das auf diesem Wege bestimmte \(s\) ist aber viel zu groß und läßt sich auch mittels Primzahltabellen nicht auf seinen Mimmalwert herabdrücken. Demgegenüber ist für \(\varepsilon =1\) die Zahl \(s=2\) als Minimalwert bekannt, was die Bertrandsche Aussage liefert: Zwischen jeder ganzen Zahl \(x\), die gleich oder größer als 2 ist, und ihrem Doppelten \(2x\) befindet sich mindestens eine Primzahl. Weiter läßt sich für alle \(\varepsilon \) größer als \(\frac 15\) nach den Ergebnissen von Landau in seinem Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (1909; F. d. M. 40, 232 (JFM 40.0232.*)) unter Zuhilfenahme einer Primzahltabelle der Minimalwert von \(s\) bestimmen. Im Falle \(\varepsilon = \frac 14\;(> \frac 15)\) hat I. Schur (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 69) eine wahre Schranke für \(s\) mit 24 berechnet. Diesen Ergebnissen fügt die vorliegende Arbeit ein bisher nicht zugängliches Resultat, nämlich den Fall \(\varepsilon = \frac 18\;(< \frac 15)\), bei: Für jede ganze Zahl \(x\), die gleich oder größer als 48 ist, liegt zwischen \(x\) und \(\frac 98x\) mindestens eine Primzahl. Zur Herleitung mußte sich Verf. einer neuen Methode bedienen, und es werden hierbei zum ersten Male die von J. Großmann (1912; F. d. M. 44, 310 (JFM 44.0310.*)) und R. J. Backlund (1916, 1918; F. d. M. 46, 500 (JFM 46.0500.*), 499) gewonnenen Sätze über die nicht trivialen Null-steilen der \(\zeta \)-Funktion zur Bestimmung einer wahren Schranke in der Primzahltheorie verwendet.
Im zweiten Teil des vorliegenden Aufsatzes handelt es sich um einen neuen Beweis und um eine Verschärfung des oben angeführten Bertrandschen Satzes, indem gezeigt wird, daß zwischen jeder Zahl \(x\) gleich oder größer als 7 und ihrem Doppelten \(2x\) mindestens eine Primzahl aus jeder der vier Progressionen \(3n+1,\;3n+2,\;4n+1\) und \(4n+3\) gelegen ist. Hierfür wird der Beweis unter Benutzung Dirichletscher \(L\)-Reihen analog dem des ersten Teiles geliefert.

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