×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über einige trigonometrische Summen. II. (German) JFM 58.0203.01
Es sei \[ \theta = \frac {1 |}{|a_1}+ \frac {1 |}{|a_2} + \cdots \qquad (0<\theta <1) \] die Entwicklung der Irrationalzahl \(\theta \) in einen unendlichen regelmäßigen Kettenbruch. Weiter sei \[ D(x) = \sum _{1\leqq n\leqq x}d(n)e^{2\pi in\theta },\quad R_k(x) = \sum _{1\leqq n\leqq x}r_k(n)e^{2\pi in\theta } \] wo \(d(n)\) die Anzahl der positiven Teiler der natürlichen Zahl \(n\) ist und \(r_k(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von \(k \geqq 2\) Quadraten. Verf. beweist:
1) Falls \[ \lim _{x \rightarrow \infty }\sup a_n = \infty, \] ist \[ \lim _{x \rightarrow \infty }\sup x^{-\frac {1}{2}}\operatorname{Re} D(x) = \infty, \quad \lim _{x \rightarrow \infty }\sup x^{-\frac {1}{2}}|\operatorname{Im} D(x)| = \infty. \]
2) Falls \[ \lim _{x \rightarrow \infty }\sup a_n = \alpha < \infty, \] so gibt es eine Konstante \(A\), so daß für jedes \(\theta \) mit \(\alpha \geqq A\) \[ \lim _{x \rightarrow \infty }\sup x^{-\frac {1}{2}}\operatorname{Re} D(x) \geqq \frac {1}{5} \sqrt \alpha \log \alpha,\quad \lim _{x \rightarrow \infty }\sup x^{-\frac {1}{2}}|\operatorname{Im} D(x)| \geqq \frac {1}{5} \sqrt \alpha \log \alpha, \] ist.
3) Falls \(\{a\}\) die Entfernung von \(a\) zur nächstliegenden ganzen Zahl ist, so ist für fast alle \(\theta \) und für beliebiges \(\varepsilon > 0\): \[ \sum _{1\leqq m \leqq x} \frac {1}{\{m\theta \}} \leqq cx\log ^{1+\varepsilon }x \] (wo \(c\) eine nur von \(\theta \) und \(\varepsilon \) abhängende Konstante ist).
Dieses Resultat erlaubt, die früher vom Verf. erhaltenen \(O\)-Abschätzungen für \(D(x)\) und \(R_k(x)\) (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 238) folgendermaßen zu verschärfen: Es ist \[ D(x) = O\left (x^{\frac {1}{2}}\log ^{2+\varepsilon }x\right ), \quad R_k(x) = O\left (x^{\frac {k}{4}}\log ^{p+\varepsilon }x\right ) \qquad (k = 2, 3, 4), \] wo \(p=2\) für \(k=2,3\) und \(p=3\) für \(k=4\). (III 8.)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML