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On the minima of Hermitean forms. (Über die Minima Hermitescher Formen.) (German) JFM 58.0206.01

Ist \[ F(x,y;\overline {x},\overline {y}) = ax\overline {x} + \overline {b}x\overline {y} + b\overline {x}y + cy\overline {y} \] eine positiv definite Hermitesche Form und durchlaufen die Variablen \(x, y\) alle ganzen Zahlen eines imaginären quadratischen Zahlkörpers \(k\) mit Ausnahme des Wertepaares (0, 0), so gilt die Ungleichung \[ F(x,y;\overline {x},\overline {y}) < M \] bei beliebig vorgegebenem \(M\) nur für endlich viele Paare \(x, y\); daher hat \(F(x,y;\overline {x},\overline {y})\) ein bestimmtes Minimum. Es handelt sich darum zu untersuchen, ob dieses Minimum, wenn man alle Formen der gleichen Determinante \(ac - b\overline {b} = \varDelta \) betrachtet, eine endliche obere Grenze hat und für welche Formen diese erreicht wird. Im Anschluß an eine Methode von J. Züllig [Zürich: Orell-Füssli. 91 S. 33 Fig. (1928; JFM 54.0210.02)], der die entsprechende Frage für binäre positive quadratische Formen untersucht, bedient sich Verf. gewisser Kugelteilungen des dreidimensionalen Raumes und löst die Aufgabe für den Gaußschen Körper und den Körper der dritten Einheitswurzeln. Gleichzeitig erhält er Abschätzungen für die Approximation einer beliebigen komplexen Zahl durch Zahlen des betrachteten Körpers. Zuletzt wird eine Übertragung der Methode auf Hermitesche Formen in Quaternionen vorgenommen. (III 5.)

MSC:

11E39 Bilinear and Hermitian forms
11H50 Minima of forms

Citations:

JFM 54.0210.02
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Full Text: Crelle EuDML